Macierze: Ćwiczenia z komentarzami i rozwiązaniami

Macierz to tabela utworzona z liczb rzeczywistych, ułożonych w rzędy i kolumny. Liczby pojawiające się w macierzy nazywane są elementami.

Skorzystaj z rozwiązanych i skomentowanych pytań egzaminu wstępnego, aby rozwiać wszystkie wątpliwości dotyczące tej treści.

Rozwiązane problemy z egzaminem wstępnym

1) Unicamp - 2018

Niech a i b będą liczbami rzeczywistymi takimi, że macierz A = spełnia równanie A²= aA + bI, gdzie I jest macierzą jednostkową rzędu 2. Zatem iloczyn ab jest równy

a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.

Zobacz odpowiedź

Aby poznać wartość iloczynu a.b, musimy najpierw poznać wartość a i b. Rozważmy więc równanie podane w zadaniu.

Aby rozwiązać równanie, obliczmy wartość A², co odbywa się przez pomnożenie macierzy A przez samą siebie, czyli:

Operacja ta jest wykonywana poprzez pomnożenie wierszy pierwszej macierzy przez kolumny drugiej macierzy, jak pokazano poniżej:

W ten sposób macierz A² to to samo co:

Biorąc pod uwagę właśnie znalezioną wartość i pamiętając, że w macierzy jednostkowej elementy głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0, równanie będzie wyglądało następująco:

Teraz musimy pomnożyć macierz A przez liczbę a i macierz jednostkową przez liczbę b.

Pamiętaj, że aby pomnożyć liczbę przez tablicę, mnożymy liczbę przez każdy element tablicy.

Zatem nasza równość będzie równa:

Dodając dwie macierze mamy:

Dwie macierze są równe, gdy wszystkie odpowiadające sobie elementy są równe. W ten sposób możemy napisać następujący system:

Izolowanie a w drugim równaniu:

Zastępując wartość znalezioną za a w pierwszym równaniu, znajdujemy wartość b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Tak więc produkt zostanie podany przez:

. b = - 1. 2
. b = - 2

Alternatywnie: a) -2.

2) Niespójrz - 2016

Punkt P o współrzędnych (x, y) prostopadłej płaszczyzny kartezjańskiej jest reprezentowany przez macierz kolumnową. , a także macierz kolumn przedstawia w ortogonalnej płaszczyźnie kartezjańskiej punkt P o współrzędnych (x, y). Zatem wynik mnożenia macierzy jest macierzą kolumnową, która w ortogonalnej płaszczyźnie kartezjańskiej z konieczności reprezentuje punkt, który jest

a) obrót P o 180º w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i ze środkiem na (0, 0).
b) obrót P o 90° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ze środkiem na (0, 0).
c) symetryczny względem P względem poziomej osi x.
d) symetryczny względem P względem pionowej osi y.
e) obrót P o 90º w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i ze środkiem na (0, 0).

Zobacz odpowiedź

Punkt P jest reprezentowany przez macierz, tak że odcięta (x) jest wskazana przez element a.₁₁ a rzędną (y) przez element a₂₁ matrycy.

Aby znaleźć nową pozycję punktu P, musimy rozwiązać mnożenie przedstawionych macierzy, a wynik będzie następujący:

Wynik reprezentuje nową współrzędną punktu P, to znaczy odcięta równa się -y, a rzędna równa się x.

Aby zidentyfikować transformację, której podlega położenie punktu P, przedstawmy sytuację na płaszczyźnie kartezjańskiej, jak wskazano poniżej:

Dlatego punkt P, który początkowo znajdował się w 1. kwadrancie (dodatnia odcięta i rzędna), przeniósł się do 2. ćwiartki (ujemna odcięta i dodatnia rzędna).

Podczas przechodzenia do tej nowej pozycji punkt został obrócony w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jak pokazano na powyższym obrazku za pomocą czerwonej strzałki.

Nadal musimy określić, jaka była wartość kąta obrotu.

Łącząc pierwotną pozycję punktu P ze środkiem osi kartezjańskiej i robiąc to samo w odniesieniu do jego nowej pozycji P', mamy następującą sytuację:

Zauważ, że dwa trójkąty wskazane na rysunku są przystające, to znaczy mają te same wymiary. W ten sposób ich kąty są również takie same.

Dodatkowo kąty α i θ są komplementarne, gdyż suma kątów wewnętrznych trójkątów jest równa 180º, a ponieważ trójkąt jest prostokątny, suma tych dwóch kątów będzie równa 90º.

Dlatego kąt obrotu punktu, wskazany na rysunku przez β, może być równy tylko 90º.

Alternatywnie: b) obrót P o 90° w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ze środkiem na (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Ponieważ a jest liczbą rzeczywistą, rozważ macierz A = . Więc²⁰¹⁷ to to samo co
)
B)
do)
re)

Zobacz odpowiedź

Najpierw spróbujmy znaleźć wzór dla potęg, ponieważ pomnożenie macierzy A przez samą 2017 razy jest bardzo pracochłonne.

Pamiętając, że w mnożeniu macierzy każdy element znajduje się przez dodanie wyników mnożenia elementów w jednym wierszu przez elementy w kolumnie drugiego.

Zacznijmy od obliczenia A²:

Wynikiem była macierz jednostkowa, a gdy pomnożymy dowolną macierz przez macierz jednostkową, wynikiem będzie sama macierz.

Dlatego wartość A³ będzie równa samej macierzy A, ponieważ A³ = A². TEN.

Ten wynik będzie się powtarzał, to znaczy, gdy wykładnik jest parzysty, wynikiem będzie macierz jednostkowa, a gdy nieparzysty będzie to sama macierz A.

Ponieważ rok 2017 jest nieparzysty, wynik będzie równy macierzy A.

Alternatywa: b)

4) UFSM - 2011

Podany diagram przedstawia uproszczony łańcuch pokarmowy danego ekosystemu. Strzałki wskazują gatunki, którymi żywią się inne gatunki. Przypisując wartość 1, gdy jeden gatunek żywi się innym i zero, gdy występuje odwrotna sytuacja, mamy następującą tabelę:

Macierz A = (a_ij)_4x4, powiązany z tabelą, ma następujące prawo szkoleniowe:

Zobacz odpowiedź

Ponieważ numer wiersza jest wskazany przez i, a numer kolumny przez j, a patrząc na tabelę, zauważamy, że gdy i jest równe j lub i jest większe od j, wynik jest równy zero.

Pozycje zajęte przez 1 to te, w których numer kolumny jest większy niż numer wiersza.

Alternatywa: c)

5) Niespójny - 2014

Rozważmy równanie macierzowe A + BX = X + 2C, którego niewiadomą jest macierz X i wszystkie macierze są kwadratami rzędu n. Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby to równanie miało jedno rozwiązanie, jest następujące:

a) B – I ≠ O, gdzie I jest macierzą jednostkową rzędu n, a O jest macierzą zerową rzędu n.
b) B jest odwracalny.
c) B ≠ O, gdzie O jest macierzą zerową rzędu n.
d) B – I jest odwracalna, gdzie I jest macierzą jednostkową rzędu n.
e) A i C są odwracalne.

Zobacz odpowiedź

Aby rozwiązać równanie macierzowe, musimy wyizolować X po jednej stronie znaku równości. Aby to zrobić, odejmijmy początkowo macierz A po obu stronach.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - A

Teraz odejmijmy X, także po obu stronach. W takim przypadku równanie będzie wyglądało następująco:

BX - X = X - X + 2C - A
BX - X = 2C - A
X.(B - I) =2C - A

Ponieważ I jest macierzą jednostkową, gdy pomnożymy macierz przez tożsamość, wynikiem jest sama macierz.

Tak więc, aby wyizolować X, musimy teraz pomnożyć obie strony znaku równości przez macierz odwrotną (B-I), czyli:

X. (B - I) (B - I) ^{- 1} = (B-I) ^{- 1}. (2C-A)

Pamiętając, że gdy macierz jest odwracalna, iloczyn macierzy przez odwrotność jest równy macierzy jednostkowej.
X = (B-I) ^{- 1}. (2C-A)

Zatem równanie będzie miało rozwiązanie, gdy B - I jest odwracalne.

Alternatywa: d) B – I jest odwracalna, gdzie I jest macierzą jednostkową rzędu n.

6) Enem - 2012

Uczeń zapisywał w tabeli dwumiesięczne oceny niektórych przedmiotów. Zauważył, że wpisy liczbowe w tabeli tworzą macierz 4x4 i że mógł obliczyć średnie roczne dla tych dyscyplin przy użyciu iloczynu macierzy. Wszystkie testy miały tę samą wagę, a tabelę, którą otrzymał, pokazano poniżej

Aby uzyskać te średnie, pomnożył otrzymaną z tabeli macierz przez

Zobacz odpowiedź

Średnia arytmetyczna jest obliczana przez dodanie wszystkich wartości i podzielenie przez liczbę wartości.

Zatem uczeń musi dodać oceny z 4 bimestrów i podzielić wynik przez 4 lub pomnożyć każdą ocenę przez 1/4 i dodać wszystkie wyniki.

Używając macierzy możemy osiągnąć ten sam wynik wykonując mnożenie macierzy.

Musimy jednak pamiętać, że pomnożenie dwóch macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn w jednej jest równa liczbie wierszy w drugiej.

Ponieważ macierz notatek ma 4 kolumny, macierz, którą będziemy mnożyć, musi mieć 4 wiersze. Dlatego musimy pomnożyć przez macierz kolumnową:

Alternatywa: i

7) Fuvest - 2012

Rozważ macierz , na czym? to liczba rzeczywista. Wiedząc, że A przyznaje odwrotność A^-1 czyja pierwsza kolumna to , suma elementów głównej przekątnej A^-1 to to samo co

a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9

Zobacz odpowiedź

Pomnożenie macierzy przez jej odwrotność jest równe macierzy jednostkowej, więc możemy przedstawić sytuację za pomocą następującej operacji:

Rozwiązując mnożenie drugiego rzędu pierwszej macierzy przez pierwszą kolumnę drugiej macierzy, otrzymujemy następujące równanie:

(do 1). (2a - 1) + (a + 1). (- 1) = 0
2.² - a - 2a + 1 + (-a) + (-1) = 0
2.² - 4. = 0
2. (a - 2) = 0
a-2 = 0
a = 2

Podstawiając wartość a w macierzy otrzymujemy:

Teraz, gdy znamy macierz, obliczmy jej wyznacznik:

Zatem suma głównej przekątnej będzie równa 5.

Alternatywnie: a) 5

Aby dowiedzieć się więcej, zobacz także:

• Matryce
• Determinanty
• Zasada Sarrusarus
• Twierdzenie Laplace'a
• Transponowana macierz