Twierdzenie Pitagorasa wskazuje, że w trójkącie prostokątnym kwadratowa miara przeciwprostokątnej jest równa sumie kwadratów miar nóg.
Skorzystaj z rozwiązanych i skomentowanych ćwiczeń, aby odpowiedzieć na wszystkie Twoje wątpliwości dotyczące tej ważnej treści.
Proponowane ćwiczenia (z rozdzielczością)
Pytanie 1
Carlos i Ana wyszli z domu do pracy z tego samego miejsca, garażu budynku, w którym mieszkają. Po 1 minucie jazdy prostopadłą ścieżką byli od siebie 13 m.
Jeśli samochód Carlosa zrobił w tym czasie 7 metrów więcej niż samochód Any, jak daleko byli od garażu?
a) Carlos był 10 m od garażu, a Ana 5 m.
b) Carlos był 14 m od garażu, a Ana 7 m.
c) Carlos był 12 m od garażu, a Ana 5 m.
d) Carlos był 13 m od garażu, a Ana 6 m.
Prawidłowa odpowiedź: c) Carlos był 12 m od garażu, a Ana 5 m.
Boki prawego trójkąta utworzone w tym pytaniu to:
- przeciwprostokątna: 13 m
- większa noga: 7 + x
- krótsza noga: x
Stosując wartości z twierdzenia Pitagorasa mamy:
Teraz stosujemy wzór Bhaskary, aby znaleźć wartość x.
Ponieważ jest to miara długości, musimy użyć wartości dodatniej. Dlatego boki prawego trójkąta utworzone w tym pytaniu to:
- przeciwprostokątna: 13 m
- dłuższa noga: 7 + 5 = 12 m
- krótsza noga: x = 5 m
Tak więc Ana znajdowała się 5 metrów od garażu, a Carlos 12 metrów.
pytanie 2
Carla szukając swojego kociaka zobaczyła go na szczycie drzewa. Następnie poprosiła matkę o pomoc i umieścili drabinę pod drzewem, aby pomóc kotu zejść.
Wiedząc, że kot znajdował się 8 metrów od ziemi, a podstawa drabiny znajdowała się 6 metrów od drzewa, jak długo drabina została użyta do uratowania kociaka?
a) 8 metrów.
b) 10 metrów.
c) 12 metrów.
d) 14 metrów.
Prawidłowa odpowiedź: b) 10 metrów.
Zwróć uwagę, że wysokość, na której znajduje się kot, i odległość podstawy drabiny są ustawione pod kątem prostym, to znaczy pod kątem 90 stopni. Ponieważ drabina jest ustawiona pod kątem prostym, to jej długość odpowiada przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.
Stosując wartości podane w twierdzeniu Pitagorasa odkrywamy wartość przeciwprostokątnej.
Dlatego drabina ma 10 metrów długości.
pytanie 3
Według miar przedstawionych w alternatywach poniżej, która przedstawia wartości trójkąta prostokątnego?
a) 14 cm, 18 cm i 24 cm
b) 21 cm, 28 cm i 32 cm
c) 13 cm, 14 cm i 17 cm
d) 12 cm, 16 cm i 20 cm
Prawidłowa odpowiedź: d) 12 cm, 16 cm i 20 cm.
Aby dowiedzieć się, czy przedstawione miary tworzą trójkąt prostokątny, musimy zastosować twierdzenie Pitagorasa do każdej alternatywy.
a) 14 cm, 18 cm i 24 cm
b) 21 cm, 28 cm i 32 cm
c) 13 cm, 14 cm i 17 cm
d) 12 cm, 16 cm i 20 cm
Zatem wymiary 12 cm, 16 cm i 20 cm odpowiadają bokom trójkąta prostokątnego, ponieważ kwadrat przeciwprostokątnej, najdłuższego boku, jest równy sumie kwadratu nóg.
pytanie 4
Zwróć uwagę na następujące figury geometryczne, których jeden bok znajduje się w przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o wymiarach 3 m, 4 mi 5 m.
Znajdź wysokość (h) trójkąta równobocznego BCD i wartość przekątnej (d) kwadratu BCFG.
a) h = 4,33 m i d = 7,07 m
b) h = 4,72 m i d = 8,20 m
c) h = 4,45 m i d = 7,61 m
d) h = 4,99 m i d = 8,53 m
Prawidłowa odpowiedź: a) h = 4,33 m i d = 7,07 m.
Ponieważ trójkąt jest równoboczny, oznacza to, że jego trzy boki mają tę samą miarę. Rysując linię odpowiadającą wysokości trójkąta, dzielimy ją na dwa trójkąty prostokątne.
To samo dotyczy kwadratu. Kiedy narysujemy jego ukośną linię, zobaczymy dwa trójkąty prostokątne.
Stosując dane ze stwierdzenia w twierdzeniu Pitagorasa, odkrywamy wartości w następujący sposób:
1. Obliczanie wysokości trójkąta (prawa noga trójkąta):
Następnie dochodzimy do wzoru na obliczenie wzrostu. Teraz po prostu podstaw wartość L i oblicz ją.
2. Obliczanie przekątnej kwadratu (przeciwprostokątna trójkąta prawego):
Zatem wysokość trójkąta równobocznego BCD wynosi 4,33, a wartość przekątnej kwadratu BCFG wynosi 7,07.
Zobacz też: twierdzenie Pitagorasa
Rozwiązane problemy z egzaminem wstępnym
pytanie 5
(Cefet/MG - 2016) Latawiec, którego rysunek pokazano poniżej, został zbudowany w formacie czworoboku ABCD, będąc i
. patyk
latawiec przecina pręt
w punkcie środkowym E, tworząc kąt prosty. W konstrukcji tego latawca miary
stosowane są odpowiednio 25 cm i 20 cm, a wymiary
równa się
miary
.
W tych warunkach miara , w cm, jest równy
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Prawidłowa alternatywa: c) 55.
Obserwując figurę pytania, widzimy, że odcinek DE, który chcemy znaleźć, jest taki sam jak odcinek BD, odejmując odcinek BE.
Skoro więc wiemy, że odcinek BE jest równy 20 cm, to musimy znaleźć wartość odcinka BD.
Zauważ, że problem daje nam następujące informacje:
Aby znaleźć miarę BD, musimy znać wartość odcinka AC.
Ponieważ punkt E dzieli odcinek na dwie równe części (punkt środkowy), to . Dlatego pierwszym krokiem jest znalezienie miary segmentu CE.
Aby znaleźć pomiar CE, zidentyfikowaliśmy, że trójkąt BCE jest prostokątem, że BC jest przeciwprostokątną, a BE i CE są odnogami, jak pokazano na poniższym obrazku:
Następnie zastosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć miarę nogi.
252 = 202+x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 - 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Aby znaleźć obrożę, mogliśmy również zaobserwować, że trójkąt jest pitagorejski, to znaczy, że wymiary jego boków są wielokrotnością wymiarów trójkąta 3, 4, 5.
Tak więc, gdy pomnożymy 4 przez 5, otrzymamy wartość kołnierza (20), a jeśli pomnożymy 5 przez 5, otrzymamy przeciwprostokątną (25). Dlatego druga noga mogła mieć tylko 15 (5. 3).
Teraz, gdy znaleźliśmy wartość EC, możemy znaleźć inne miary:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm
Dlatego miara równa się 55 cm.
Zobacz też: Pitagoras
pytanie 6
(MSSF - 2017) Rozważ trójkąt równoboczny o boku 5√3 ܿ݉. Jaka jest odpowiednio wysokość i powierzchnia tego trójkąta?
Prawidłowa alternatywa: e) 7,5 cm i 75√3/4 cm2
Najpierw narysujmy trójkąt równoboczny i wykreślmy wysokość, jak pokazano na poniższym obrazku:
Zauważ, że wysokość dzieli podstawę na dwa segmenty tej samej miary, ponieważ trójkąt jest równoboczny. Zauważ również, że trójkąt ACD na rysunku jest trójkątem prostokątnym.
Tak więc, aby znaleźć miarę wysokości, użyjemy twierdzenia Pitagorasa:
Znając pomiar wysokości, możemy obliczyć powierzchnię za pomocą wzoru:
pytanie 7
(MSSF - 2016) Na poniższym rysunku wartości odpowiednio x i y wynoszą
Prawidłowa alternatywa: a) 4√2 i √97.
Aby znaleźć wartość x, zastosujmy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego o bokach równych 4 cm.
x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Aby znaleźć wartość y, użyjemy również twierdzenia Pitagorasa, biorąc pod uwagę, że jedna noga mierzy 4 cm, a druga 9 cm (4 + 5 = 9).
tak2 = 42 + 92
tak2 = 16 + 81
y = √97 cm
Dlatego wartości x i y wynoszą odpowiednio 4√2 i √97.
pytanie 8
(Apprentice Sailor - 2017) Spójrz na poniższy rysunek.
Na powyższym rysunku widać trójkąt równoramienny ACD, w którym odcinek AB mierzy 3 cm, nierówny bok AD mierzy 10√2 cm, a odcinki AC i CD są prostopadłe. Dlatego słuszne jest stwierdzenie, że segment BD mierzy:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Prawidłowa alternatywa: d) √149 cm
Biorąc pod uwagę informacje przedstawione w zadaniu, budujemy poniższy rysunek:
Zgodnie z rysunkiem stwierdzamy, że aby znaleźć wartość x, konieczne będzie znalezienie miary strony, którą nazywamy a.
Ponieważ trójkąt ACD jest prostokątem, zastosujemy twierdzenie Pitagorasa, aby znaleźć wartość gałęzi a.
Teraz, gdy znamy wartość a, możemy znaleźć wartość x, rozważając trójkąt prostokątny BCD.
Zauważ, że noga BC jest równa pomiarowi nogi minus 3 cm, czyli 10 - 3 = 7 cm. Stosując twierdzenie Pitagorasa do tego trójkąta, otrzymujemy:
Dlatego słuszne jest stwierdzenie, że segment BD mierzy √149 cm.
pytanie 9
(IFRJ - 2013) Boisko sportowe na terenie kampusu Arrozal Instytutu Federalnego ma kształt prostokąta o długości 100 m i szerokości 50 m, reprezentowanego na tym rysunku przez prostokąt ABCD.
Alberto i Bruno to dwaj studenci, którzy uprawiają sport na dziedzińcu. Alberto przechodzi od punktu A do punktu C po przekątnej prostokąta i wraca do punktu początkowego tą samą ścieżką. Bruno startuje z punktu B, całkowicie okrąża podwórko, idąc wzdłuż linii bocznych i wraca do punktu wyjścia. Zatem biorąc pod uwagę √5 = 2,24, stwierdza się, że Bruno chodził więcej niż Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Prawidłowa alternatywa: c) 76 m.
Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, przy czym przeciwprostokątna jest przekątną, a boki równe bokom prostokąta.
Tak więc, aby obliczyć miarę przekątną, zastosujmy twierdzenie Pitagorasa:
Natomiast Alberto pojechał i wrócił, więc pokonał 224 m.
Bruno pokonał odległość równą obwodowi prostokąta, czyli innymi słowy:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Dlatego Bruno przeszedł 76 m dłużej niż Alberto (300 - 112 = 76 m).
pytanie 10
(Enem - 2017) Do dekoracji dziecięcego stołu imprezowego szef kuchni użyje kulistego melona o średnicy 10 cm, który posłuży jako podpórka do nabijania różnych słodyczy. Usunie z melona kulisty kołpak, jak pokazano na rysunku, a także, aby zapewnić stabilność tego wspornika, utrudniając melonowi toczenie się po stole, zgrubienie będzie ciąć tak, że promień r okrągłego cięcia jest włochaty. minus 3 cm. Z drugiej strony szefowi kuchni zależy na jak największej powierzchni w regionie, w którym będą przygotowywane słodycze.
Aby osiągnąć wszystkie swoje cele, szef musi wyciąć czapkę melona na wysokości h, w centymetrach, równej
Prawidłowa alternatywa: c) 1
Obserwując figurę przedstawioną w pytaniu, stwierdziliśmy, że wysokość h można znaleźć zmniejszając miarę odcinka OA od miary promienia kuli (R).
Promień kuli (R) jest równy połowie jej średnicy, czyli w tym przypadku 5 cm (10:2 = 5).
Więc musimy znaleźć wartość segmentu OA. W tym celu rozważymy trójkąt OAB przedstawiony na poniższym rysunku i zastosujemy twierdzenie Pitagorasa.
52 = 32 + x2
x2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
Możemy również znaleźć wartość x bezpośrednio, zauważając, że jest to trójkąt pitagorejski 3,4 i 5.
Zatem wartość h będzie równa:
h = R - x
h = 5 - 4
h = 1 cm
Dlatego szef kuchni powinien przyciąć czapkę melona na wysokości 1 cm.
pytanie 11
(Enem - 2016 - 2 zgłoszenie) Boccia to sport rozgrywany na kortach o płaskim i równym terenie, ograniczonym drewnianymi platformami na obwodzie. Celem tego sportu jest rzucanie kulami, które są piłkami wykonanymi z materiału syntetycznego, aby: umieść je jak najbliżej bolima, który jest mniejszą kulką, najlepiej wykonaną ze stali, wcześniej uruchomiona. Rysunek 1 przedstawia piłkę do bocce i bolim, które były grane na korcie. Załóżmy, że gracz rzucił piłkę o promieniu 5 cm, która opierała się o bolim o promieniu 2 cm, jak pokazano na rysunku 2.
Rozważ punkt C jako środek kuli, a punkt O jako środek kuli. Wiadomo, że A i B to punkty, w których piłka do gry w bocce i bollin dotykają podłoża, a odległość między A i B jest równa d. W tych warunkach, jaki jest stosunek d do promienia bolima?
Prawidłowa alternatywa: e) √10
Aby obliczyć wartość odległości d między punktami A i B, zbudujmy figurę łączącą środki dwóch sfer, jak pokazano poniżej:
Zauważ, że niebieska kropkowana figura ma kształt trapezu. Podzielmy ten trapez, jak pokazano poniżej:
Dzieląc trapez otrzymujemy prostokąt i trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna trójkąta jest równa sumie promienia piłki do bocce z promieniem bolima, czyli 5 + 2 = 7 cm.
Wymiar jednej nogi jest równy d, a wymiar drugiej nogi jest równy wymiarowi odcinka CA, który jest promieniem piłki do bocce minus promień bolimu (5 - 2 = 3) .
W ten sposób możemy znaleźć miarę d, stosując do tego trójkąta twierdzenie Pitagorasa, czyli:
72 = 32 - z2
re2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Zatem stosunek odległości d do bolim będzie wyrażony wzorem:.
pytanie 12
(Enem - 2014) Dziennie rezydencja zużywa 20 160 Wh. Ta rezydencja ma 100 ogniw słonecznych prostokątny (urządzenia zdolne do przetwarzania światła słonecznego na energię elektryczną) o wymiarach 6 cm x 8 cm. Każda taka komórka wytwarza w ciągu dnia 24 Wh na centymetr przekątnej. Właściciel tego domu chce wyprodukować dziennie dokładnie taką samą ilość energii, jaką zużywa jego dom. Co ten właściciel powinien zrobić, aby osiągnąć swój cel?
a) Usuń 16 komórek.
b) Usuń 40 komórek.
c) Dodaj 5 komórek.
d) Dodaj 20 komórek.
e) Dodaj 40 komórek.
Prawidłowa alternatywa: a) Usuń 16 komórek.
Najpierw musisz dowiedzieć się, jaka jest energia wyjściowa każdej komórki. W tym celu musimy znaleźć miarę przekątnej prostokąta.
Przekątna jest równa przeciwprostokątnej trójkąta z nogami równymi 8 cm i 6 cm. Następnie obliczymy przekątną, stosując twierdzenie Pitagorasa.
Zauważamy jednak, że omawiany trójkąt jest pitagorejski, będący wielokrotnością trójkąta 3, 4 i 5.
W ten sposób wymiar przeciwprostokątnej będzie równy 10 cm, ponieważ boki trójkąta pitagorejskiego 3, 4 i 5 pomnożymy przez 2.
Teraz, gdy znamy pomiar przekątnej, możemy obliczyć energię wytworzoną przez 100 komórek, czyli:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Ponieważ zużyta energia wynosi 20 160 Wh, będziemy musieli zmniejszyć ilość ogniw. Aby znaleźć ten numer, zrobimy:
24 000 - 20 160 = 3 840 Wh
Dzieląc tę wartość przez energię wytworzoną przez ogniwo, znajdujemy liczbę, którą należy zmniejszyć, czyli:
3 840: 240 = 16 komórek
Dlatego działaniem właściciela, aby osiągnął swój cel, powinno być usunięcie 16 ogniw.
Aby dowiedzieć się więcej, zobacz także: Ćwiczenia trygonometrii