TEN zasada trzech to procedura stosowana do rozwiązywania problemów dotyczących ilości, które są proporcjonalne.
Ponieważ ma ogromne zastosowanie, bardzo ważne jest, aby wiedzieć, jak rozwiązywać problemy za pomocą tego narzędzia.
Skorzystaj więc z ćwiczeń z adnotacjami i odpowiedzi na pytania konkursowe, aby sprawdzić swoją wiedzę na ten temat.
Ćwiczenia z komentarzem
Ćwiczenie 1
Aby nakarmić psa, człowiek wydaje 10 kg karmy co 15 dni. Jaka jest całkowita ilość paszy spożywanej tygodniowo, biorąc pod uwagę, że zawsze taka sama ilość paszy jest dodawana dziennie?
Rozwiązanie
Zawsze musimy zacząć od określenia wielkości i ich relacji. Bardzo ważne jest, aby poprawnie określić, czy ilości są wprost czy odwrotnie proporcjonalne.
W tym ćwiczeniu całkowita ilość skonsumowanej paszy i liczba dni są wprost proporcjonalne, ponieważ im więcej dni, tym większa całkowita ilość zużyta.
Aby lepiej zobrazować zależność między wielkościami, możemy użyć strzałek. Kierunek strzałki wskazuje najwyższą wartość każdej wielkości.
Wielkości, których pary strzałek wskazują w tym samym kierunku, są wprost proporcjonalne, a te, które wskazują w przeciwnych kierunkach, są odwrotnie proporcjonalne.
Rozwiążmy zatem proponowane ćwiczenie, jak pokazano na poniższym schemacie:
Rozwiązując równanie, mamy:
Tak więc ilość paszy spożywanej tygodniowo wynosi około 4,7 kg.
Zobacz też: Stosunek i proporcja
Ćwiczenie 2
Kran napełnia zbiornik w 6 godzin. Ile czasu zajmie napełnienie tego samego zbiornika, jeśli zostaną użyte 4 krany o takim samym natężeniu przepływu jak poprzedni kran?
Rozwiązanie
W tym zagadnieniu ilościami, które będą dotyczyły, będą liczba uderzeń i czas. Należy jednak pamiętać, że im większa liczba kranów, tym mniej czasu zajmuje napełnienie zbiornika.
Dlatego ilości są odwrotnie proporcjonalne. W takim przypadku pisząc proporcje musimy odwrócić jedną ze proporcji, jak pokazano na poniższym schemacie:
Rozwiązywanie równania:
W ten sposób zbiornik będzie całkowicie pełny w 1,5 godz.
Zobacz też: Prosta i złożona zasada trzech
Ćwiczenie 3
W jednej firmie 50 pracowników produkuje 200 sztuk, pracując 5 godzin dziennie. Jeśli liczba pracowników zmniejszy się o połowę, a liczba godzin pracy w ciągu dnia zmniejszy się do 8 godzin, ile części zostanie wyprodukowanych?
Rozwiązanie
Ilości wskazane w zadaniu to: liczba pracowników, liczba części i godzin przepracowanych w ciągu dnia. Mamy więc złożoną regułę trzech (więcej niż dwie wielkości).
W tego typu obliczeniach ważne jest, aby osobno przeanalizować, co dzieje się z niewiadomą (x), gdy zmieniamy wartość dwóch pozostałych wielkości.
W ten sposób zdaliśmy sobie sprawę, że liczba części będzie mniejsza, jeśli zmniejszymy liczbę pracowników, dlatego te ilości są wprost proporcjonalne.
Liczba części wzrasta, gdy zwiększamy liczbę godzin pracy w ciągu dnia. Dlatego są również wprost proporcjonalne.
Na poniższym diagramie wskazujemy ten fakt za pomocą strzałek, które wskazują na rosnący kierunek wartości.
Rozwiązując zasadę trzech, mamy:
W ten sposób zostanie wyprodukowany 160 sztuk.
Zobacz też: Reguła trzech złożonych
Rozwiązane problemy z konkursem
1) Epcar - 2016
Dwie maszyny A i B różnych modeli, każda zachowująca stałą prędkość produkcyjną, produkują razem n równych części, co zajmuje 2 godziny i 40 minut jednocześnie. Maszyna pracująca sama, utrzymująca stałą prędkość, wyprodukowałaby w ciągu 2 godzin pracy n/2 tych części.
Prawidłowe jest stwierdzenie, że maszyna B, utrzymując stałą prędkość produkcji, wyprodukowałaby również n/2 tych części w
a) 40 minut.
b) 120 minut.
c) 160 minut.
d) 240 minut.
Ponieważ łączny czas produkcji to 2h 40 min, a wiemy już, że maszyna A produkuje sama w 2 godziny n/2 sztuk, więc zobaczmy ile sama produkuje w pozostałych 40 min. W tym celu użyjmy zasady trzech.
Rozwiązanie zasady trzech:
Jest to ilość części wyprodukowanych w 40 min przez maszynę A, a więc w 2 h i 40 min sama produkuje:
Następnie możemy obliczyć ilość wyprodukowaną przez maszynę B w ciągu 2 godzin i 40 minut, odejmując ilość wyprodukowaną przez dwie maszyny (n) od ilości wyprodukowanej przez maszynę A:
Teraz można obliczyć, ile czasu zajmie maszynie B wyprodukowanie n/2 sztuk. W tym celu ponownie utwórzmy zasadę trzech:
Rozwiązując zasadę trzech, mamy:
W ten sposób maszyna B wyprodukuje n/2 sztuk w ciągu 240 min.
Alternatywa d: 240 min
Zobacz też: Wielkości bezpośrednio i odwrotnie proporcjonalne
2) Cefet - MG - 2015
W jednej firmie 10 pracowników produkuje 150 sztuk w 30 dni roboczych. Liczba pracowników, których firma będzie potrzebować do wyprodukowania 200 sztuk w ciągu 20 dni roboczych, jest równa
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
Ten problem wiąże się ze złożoną zasadą trzech, ponieważ mamy trzy wielkości: liczbę pracowników, liczbę części i liczbę dni.
Obserwując strzałki identyfikujemy, że liczba części i liczba pracowników to wielkości mag
wprost proporcjonalna. Dni i liczba pracowników są odwrotnie proporcjonalne.
Tak więc, aby rozwiązać zasadę trzech, musimy odwrócić liczbę dni.
Wkrótce potrzebnych będzie 20 pracowników.
Alternatywa b: 20
Zobacz też: Ćwiczenia z trzech reguł złożonych
3) Wróg - 2013
Przemysł posiada zbiornik wodny o pojemności 900 m²3. Gdy zachodzi potrzeba oczyszczenia zbiornika, cała woda musi zostać spuszczona. Odprowadzanie wody odbywa się sześcioma drenami, a przy pełnym zbiorniku trwa 6 godzin. Branża ta wybuduje nowy zbiornik o pojemności 500 m²3, którego spuszczenie wody należy przeprowadzić w ciągu 4 godzin, gdy zbiornik jest pełny. Dreny zastosowane w nowym zbiorniku muszą być identyczne z istniejącymi.
Ilość drenów w nowym zbiorniku powinna być równa
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
To pytanie jest regułą trzech związków, a mianowicie wielkości związanych z pojemnością zbiornika, liczbą drenów i liczbą dni.
Z pozycji strzałek obserwujemy, że pojemność i liczba drenów są wprost proporcjonalne. Liczba dni i liczba drenów są odwrotnie proporcjonalne, więc odwróćmy liczbę dni:
Potrzebnych będzie zatem 5 drenów.
Alternatywa c: 5
4) UERJ - 2014
Zwróć uwagę na liczbę aktywnych lekarzy zarejestrowanych w Federalnej Radzie Lekarskiej (CFM) oraz liczbę liczba lekarzy pracujących w Zunifikowanym Systemie Opieki Zdrowotnej (SUS), na każdy tysiąc mieszkańców, w pięciu regionach Brazylii.
SUS oferuje 1,0 lekarza na każdą grupę x mieszkańców.
W regionie północnym wartość x jest w przybliżeniu równa:
a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515
Aby rozwiązać ten problem, weźmiemy pod uwagę liczbę lekarzy SUS i liczbę mieszkańców regionu północnego. Dlatego musimy usunąć te informacje z prezentowanego wykresu.
Tworząc regułę trzech ze wskazanymi wartościami, mamy:
Rozwiązując zasadę trzech, mamy:
Dlatego SUS zapewnia około 1 lekarza na 1515 mieszkańców regionu północnego.
Alternatywa d: 1515
Zobacz też: Proste ćwiczenia z trzema regułami
5) Enem - 2017
O 17.15 zaczyna się ulewny deszcz, padający ze stałą intensywnością. Basen w kształcie prostokątnego równoległościanu, który początkowo był pusty, zaczyna gromadzić wodę deszczową io godzinie 18:00 poziom wody w nim osiąga wysokość 20 cm. W tym momencie otwiera się zawór, który uwalnia przepływ wody przez odpływ znajdujący się na dnie tego basenu, którego przepływ jest stały. O 18:40 deszcz ustał i dokładnie w tym momencie poziom wody w basenie spadł do 15 cm.
Moment, w którym woda w tym basenie przestanie całkowicie spływać, jest pomiędzy
a) 19 godz. 30 min i 20 godz. 10 min
b) 19 godz. 20 min i 19 godz. 30 min
c) 19 godz. 10 min i 19 godz. 20 min
d) 19:00 i 19:00 10 min
e) 18 h 40 min i 19 h
Z informacji wynika, że po 45 minutach deszczu wysokość wody w basenie wzrosła do 20 cm. Po tym czasie zawór spustowy został otwarty, jednak deszcz padał przez 40 minut.
Obliczmy zatem wysokość wody, która została dodana do basenu w tym przedziale czasowym, stosując następującą zasadę trzech:
Obliczając tę regułę trzech, mamy:
Teraz obliczmy, ile wody spłynęło od momentu otwarcia odpływu. Ta ilość będzie równa sumie dodanej wody pomniejszonej o ilość, która nadal istnieje w basenie, tj.:
Dlatego od otwarcia odpływu (40 min) wypłynęło 205/9 cm wody. Teraz obliczmy, ile czasu zajmie spuszczenie wody pozostałej w basenie po tym, jak przestało padać.
W tym celu użyjmy jeszcze jednej zasady z trzech:
Obliczając, mamy:
W ten sposób basen będzie pusty za około 26 minut. Dodając tę wartość do momentu, w którym kończy się deszcz, opróżnia się około 19:6 min.
Alternatywa d: 19:00 i 19:00 10 min
Aby dowiedzieć się więcej, czytaj też:
- Odsetek
- Ćwiczenia procentowe
- Matematyka w Enem
- Ćwiczenia dotyczące stosunku i proporcji