Sprawdź swoją wiedzę za pomocą proponowanych ćwiczeń i pytań, które padły na egzaminie wstępnym na temat ułamków i operacji na ułamkach.
Koniecznie sprawdź komentowane postanowienia, aby zdobyć więcej wiedzy.
Proponowane ćwiczenia (z rozdzielczością)
Ćwiczenie 1
Drzewa w parku są ułożone w taki sposób, że jeśli zbudujemy linię między pierwszym drzewem (A) odcinka i ostatniego drzewa (B) moglibyśmy sobie wyobrazić, że znajdują się one w tej samej odległości co jedno z inne.
Zgodnie z powyższym obrazkiem, jaki ułamek reprezentuje odległość między pierwszym a drugim drzewem?
a) 1/6
b) 2/6
c) 1/5
d) 2/5
Prawidłowa odpowiedź: c) 1/5.
Ułamek to reprezentacja czegoś, co zostało podzielone na równe części.
Zauważ, że z obrazu przestrzeń między pierwszym a ostatnim drzewem została podzielona na pięć części. Więc to jest mianownik ułamka.
Odległość między pierwszym a drugim drzewem jest reprezentowana tylko przez jedną z części, a zatem jest licznikiem.
Tak więc ułamek reprezentujący odstęp między pierwszym a drugim drzewem wynosi 1/5, ponieważ spośród 5 odcinków, na które podzielono trasę, dwa drzewa znajdują się na pierwszym.
Ćwiczenie 2
Spójrz na poniższy batonik i odpowiedz: ile kwadratów powinieneś zjeść, aby skonsumować 5/6 batonika?
a) 15
b) 12
c) 14
d) 16
Prawidłowa odpowiedź: a) 15 kwadratów.
Jeśli policzymy, ile kostek czekolady mamy na pasku pokazanym na obrazku, znajdziemy liczbę 18.
Mianownik zużytej frakcji (5/6) to 6, czyli sztabka została podzielona na 6 równych części, każda po 3 małe kwadraty.
Aby skonsumować ułamek 5/6, musimy wziąć 5 kawałków po 3 kwadraciki i tym samym spożyć 15 kostek czekolady.
Sprawdź inny sposób rozwiązania tego problemu.
Ponieważ tabliczka ma 18 kostek czekolady i musisz skonsumować 5/6, możemy wykonać mnożenie i znaleźć liczbę kwadracików odpowiadającą tej frakcji.
Zjedz więc 15 kwadratów, aby skonsumować 5/6 batona.
Ćwiczenie 3
Mário napełnił 3/4 słoika 500 ml z odświeżeniem. Podczas podawania napoju rozprowadził równomiernie płyn w 5 filiżankach po 50 ml, zajmując 2/4 pojemności każdej z nich. Na podstawie tych danych odpowiedz: jaka część płynu pozostała w słoiku?
a) 1/4
b) 1/3
c) 1/5
d) 1/2
Prawidłowa odpowiedź: d) 1/2.
Aby odpowiedzieć na to ćwiczenie, musimy wykonać operacje na ułamkach.
Krok 1: oblicz ilość sody w słoiku.
Drugi krok: oblicz ilość odświeżenia w szklankach
Ponieważ jest 5 szklanek, więc całkowity płyn w szklankach wynosi:
Krok 3: oblicz ilość płynu pozostałego w słoiku
Z zestawienia całkowita pojemność słoiczka to 500 ml, a według naszych obliczeń pozostała w nim ilość płynu to 250 ml, czyli połowa jego pojemności. Dlatego możemy powiedzieć, że pozostała część cieczy to 1/2 jej pojemności.
Sprawdź inny sposób na znalezienie ułamka.
Ponieważ słoik został napełniony 3/4 napoju, Mário rozlał 1/4 płynu do szklanek, pozostawiając 2/4 w słoiku, czyli 1/2.
Ćwiczenie 4
20 współpracowników postanowiło postawić zakład i nagrodzić tych, którzy najlepiej osiągnęli wyniki rozgrywek piłkarskich mistrzostw.
Wiedząc, że każda osoba wpłaciła 30 reali i że nagrody zostaną rozdzielone w następujący sposób:
- I miejsce: 1/2 zebranej kwoty;
- II miejsce: 1/3 zebranej kwoty;
- 3 miejsce: Otrzymuje pozostałą kwotę.
Ile, odpowiednio, otrzymał każdy zwycięski uczestnik?
a) 350 BRL; 150 BRL; 100 zł
b) 300 BRL; 200 BRL; 100 zł
c) 400 BRL; 150 BRL; 50 zł
d) 250 BRL; 200 BRL; 150 zł
Prawidłowa odpowiedź: b) 300 BRL; 200 BRL; 100 BRL.
Najpierw musimy obliczyć zebraną kwotę.
20 x 30 BRL = 600 BRL
Ponieważ każda z 20 osób przekazała 30 BRL, kwota wykorzystana na nagrodę wyniosła 600 BRL.
Aby dowiedzieć się, ile otrzymał każdy zwycięzca, musimy podzielić łączną kwotę przez odpowiedni ułamek.
1. miejsce:
2. miejsce:
3 miejsce:
W przypadku ostatniego zwycięzcy musimy dodać, ile otrzymali inni zwycięzcy i odjąć od zebranej kwoty.
300 + 200 = 500
600 - 500 = 100
W związku z tym mamy następującą nagrodę:
- 1. miejsce: 300 BRL;
- II miejsce: 200,00 R$;
- III miejsce: 100,00 R$.
Zobacz też: Mnożenie i dzielenie ułamków
Ćwiczenie 5
W sporze o samochód wyścigowy, zawodnik był 2/7 od ukończenia wyścigu, kiedy miał wypadek i musiał z niego zrezygnować. Wiedząc, że rywalizacja odbyła się z 56 okrążeniami na torze wyścigowym, na którym okrążeniu zawodnik został usunięty z toru?
a) 16. okrążenie
b) 40 okrążenie
c) 32 okrążenie
d) 50. okrążenie
Prawidłowa odpowiedź: b) 40 okrążenie.
Aby określić, które okrążenie zawodnik opuścił wyścig, musimy określić okrążenie odpowiadające 2/7, aby ukończyć trasę. W tym celu użyjemy mnożenia ułamka przez liczbę całkowitą.
Jeśli do ukończenia wyścigu pozostało 2/7 trasy, zawodnikowi pozostało 16 okrążeń.
Odejmując znalezioną wartość przez łączną liczbę zwrotów mamy:
56 – 16 = 40.
Dlatego po 40 okrążeniach zawodnik został usunięty z toru.
Sprawdź inny sposób rozwiązania tego problemu.
Jeśli zawody odbywają się z 56 okrążeniami na torze i zgodnie z oświadczeniem do końca wyścigu pozostało 2/7, to 56 okrążeń odpowiada frakcji 7/7.
Odejmując 2/7 od sumy 7/7, znajdziemy trasę pokonaną przez zawodnika do miejsca, w którym doszło do wypadku.
Teraz wystarczy pomnożyć 56 okrążeń przez ułamek powyżej i znaleźć okrążenie, w którym zawodnik zjechał z toru.
Tak więc w obu sposobach obliczania znajdziemy wynik 40. okrążenia.
Zobacz też: Czym jest ułamek?
Skomentowane pytania dotyczące egzaminów wstępnych
pytanie 6
ENEM (2021)
Antônio, Joaquim i José są wspólnikami w spółce, której kapitał jest podzielony pomiędzy trzy firmy w proporcjonalnych częściach: odpowiednio 4, 6 i 6. Z zamiarem wyrównania udziału trzech wspólników w kapitale spółki, Antônio zamierza nabyć ułamek kapitału każdego z pozostałych dwóch wspólników.
Ułamek kapitału każdego partnera, który Antônio musi nabyć, to
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/9
d) 2/3
e) 4/3
Odpowiedź: pozycja c
Z zestawienia wiemy, że firma została podzielona na 16 części, ponieważ 4 + 6 + 6 = 16.
Tych 16 części należy podzielić na trzy równe części dla członków.
Ponieważ 16/3 nie jest dokładnym podziałem, możemy pomnożyć przez wspólną wartość bez utraty proporcjonalności.
Pomnóżmy przez 3 i sprawdźmy równość.
4.3 + 6.3 + 6.3 = 16.3
12 + 18 + 18 = 48
48 = 48
Dzieląc 48 przez 3 wynik jest dokładny.
48/3 = 16
Obecnie firma podzielona jest na 48 części, z czego:
Antônio ma 12 części z 48.
Joaquim ma 18 części z 48.
José jest właścicielem 18 części z 48.
Tak więc Antônio, który ma już 12 lat, musi otrzymać kolejne 4, aby zostać z 16.
Z tego powodu każdy z pozostałych partnerów musi przekazać Antônio 2 części z 18.
Ułamek, który Antônio musi uzyskać od partnera, to 2/18, upraszczając:
2/18 = 1/9
pytanie 7
ENEM (2021)
Grę pedagogiczną tworzą karty, na których jednej z twarzy nadrukowany jest ułamek. Każdy gracz otrzymuje cztery karty, a ten, któremu jako pierwsze udaje się posortować swoje karty według wydrukowanych frakcji, wygrywa. Zwycięzcą został student, który otrzymał karty z ułamkami: 3/5, 1/4, 2/3 i 5/9.
Kolejność, którą przedstawił ten student:
a) 1/4, 5/9, 3/5, 2/3
b) 1/4, 2/3, 3/5, 5/9
c) 2/3, 1/4, 3/5, 2/3
d) 5/9, 1/4, 3/5, 2/3
e) 2/3, 3/5, 1/4, 5/9
Odpowiedź: pozycja a
Aby porównać ułamki, muszą mieć te same mianowniki. W tym celu obliczyliśmy MMC między 5, 4, 3 i 9, które są mianownikami wylosowanych ułamków.
Aby znaleźć równoważne ułamki, dzielimy 180 przez mianowniki wylosowanych ułamków i mnożymy wynik przez liczniki.
Za 3/5
180 / 5 = 36, ponieważ 36 x 3 = 108, odpowiednik ułamka wyniesie 108 / 180.
Dla 1/4
180/4 = 45, ponieważ 45 x 1 = 45, ułamek ekwiwalentny wyniesie 45/180
za 2/3
180/3 = 60, ponieważ 60 x 2 = 120, odpowiednik ułamka wyniesie 120/180
Za 9/5
180/9 = 20, jak 20 x 5 = 100. odpowiednik ułamka wyniesie 100/180
W przypadku równoważnych ułamków wystarczy posortować według liczników w kolejności rosnącej i skojarzyć z narysowanymi ułamkami.
pytanie 8
(UFMG-2009) Paula kupiła dwa pojemniki na lody, oba z taką samą ilością produktu.
Jeden ze słoików zawierał równe ilości smaków czekolady, śmietanki i truskawek; a drugi, równe ilości smaków czekolady i wanilii.
PRAWIDŁOWE jest więc stwierdzenie, że w tym zakupie frakcja odpowiadająca ilości lodów o smaku czekoladowym wynosiła:
a) 2/5
b) 3/5
c) 5/12
d) 5/6
Prawidłowa odpowiedź: c) 5/12.
Pierwszy garnek zawierał 3 smaki w równych ilościach: 1/3 czekoladowy, 1/3 waniliowy i 1/3 truskawkowy.
W drugim garnku była 1/2 czekolady i 1/2 wanilii.
Schematycznie przedstawiając sytuację, jak pokazano na poniższym obrazku, mamy:
Zwróć uwagę, że chcemy poznać ułamek odpowiadający ilości czekolady w zakupie, czyli biorąc pod uwagę dwa słoiki z lodami, więc dzielimy dwa słoiki na równe części.
W ten sposób każda doniczka została podzielona na 6 równych części. Tak więc w obu doniczkach mamy 12 równych części. Spośród nich 5 części odpowiada smakowi czekolady.
Więc odpowiedź poprawne jest litera C.
Nadal moglibyśmy rozwiązać ten problem, biorąc pod uwagę, że ilość lodów w każdym słoiku jest równa Q. Więc mamy:
Mianownik poszukiwanego ułamka będzie równy 2Q, ponieważ musimy wziąć pod uwagę, że są dwie pule. Licznik będzie równy sumie części czekolady w każdym naczyniu. A zatem:
Pamiętaj, że kiedy dzielimy jeden ułamek przez drugi, powtarzamy pierwszy, przechodzimy do mnożenia i odwracamy drugi ułamek.
Zobacz też: Uproszczenie frakcji
pytanie 9
(Unesp-1994) Dwóch wykonawców wspólnie utoruje drogę, każdy pracuje z jednej strony. Jeżeli jeden z nich toruje 2/5 drogi, a drugi pozostałe 81 km, to długość tej drogi wynosi:
a) 125 km
b) 135 km
c) 142 km
d) 145 km
e) 160 km
Prawidłowa odpowiedź: b) 135 km.
Wiemy, że łączna wartość drogi wynosi 81 km (3/5) + 2/5. Za pomocą zasady trzech możemy obliczyć wartość w km 2/5. Wkrótce:
| 3/5 | 81 km |
| 2/5 | x |
Dlatego stwierdzamy, że 54 km to 2/5 drogi. Teraz po prostu dodaj tę wartość do drugiej:
54 km + 81 km = 135 km
Zatem jeżeli jeden z nich wybrukuje 2/5 drogi, a drugi pozostałe 81 km, to długość tej drogi wynosi 135 km.
Jeśli nie masz pewności co do rozwiązania tego ćwiczenia, przeczytaj również: Prosta i złożona zasada trzech.
pytanie 10
(UECE-2009) Kawałek tkaniny po praniu stracił 1/10 swojej długości i mierzył 36 metrów. W tych warunkach długość w metrach kawałka przed praniem była równa:
a) 39,6 metra
b) 40 metrów
c) 41,3 metra
d) 42 metry
e) 42,8 metra
Prawidłowa odpowiedź: b) 40 metrów.
W tym zadaniu musimy znaleźć wartość odpowiadającą 1/10 tkaniny, która została skurczona po praniu. Pamiętaj, że 36 metrów odpowiada zatem 9/10.
Jeśli 9/10 to 36, ile wynosi 1/10?
Z reguły trzech otrzymujemy tę wartość:
| 9/10 | 36 metrów |
| 1/10 | x |
Wiemy wtedy, że 1/10 ubrań to 4 metry. Teraz po prostu dodaj do pozostałych 9/10:
36 metrów (9/10) + 4 metry (1/10) = 40 metrów
Dlatego długość w metrach kawałka przed praniem wynosiła 40 metrów.
pytanie 11
(ETEC/SP-2009) Tradycyjnie mieszkańcy São Paulo zazwyczaj jedzą pizzę w weekendy. Rodzina João, składająca się z niego, jego żony i dzieci, kupiła gigantyczną pizzę pokrojoną na 20 równych kawałków. Wiadomo, że Jan zjadł 3/12, a jego żona 2/5, a dla ich dzieci zostało N kawałków. Wartość N to?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
Prawidłowa odpowiedź: a) 7.
Wiemy, że ułamki stanowią część całości, czyli w tym przypadku 20 kawałków gigantycznej pizzy.
Aby rozwiązać ten problem, musimy uzyskać liczbę sztuk odpowiadającą każdej frakcji:
Jan: zjadł 12/3
Żona Jana: zjadła 2/5
N: co zostało (?)
Dowiedzmy się więc, ile kawałków każdy z nich zjadł:
Jana: 3/12 z 20 = 3/12. 20 = 60/12 = 5 sztuk
Żona: 2/5 z 20 = 2/5. 20 = 8 sztuk
Jeśli dodamy te dwie wartości (5 + 8 = 13) mamy ilość plasterków, które zostały przez nie zjedzone. Dlatego pozostało 7 kawałków, które zostały podzielone między dzieci.
pytanie 12
(Enem-2011) Mokradła są jednym z najcenniejszych dziedzictw przyrodniczych w Brazylii. Jest to największy kontynentalny obszar podmokły na planecie - z około 210 000 km2, czyli 140 tys. km2 na terytorium Brazylii, obejmując część stanów Mato Grosso i Mato Grosso do Sul. Ulewne deszcze są powszechne w tym regionie. Równowaga tego ekosystemu zależy w zasadzie od napływu i odpływu powodzi. Powodzie pokrywają do 2/3 obszaru Pantanal. W porze deszczowej teren zalewany przez powodzie może osiągnąć przybliżoną wartość:
a) 91,3 tys. km2
b) 93,3 tys. km2
c) 140 tys. km2
d) 152,1 tys. km2
e) 233,3 tys. km2
Prawidłowa odpowiedź: c) 140 tys. km2.
Najpierw musimy zwrócić uwagę na wartości, jakie oferuje ćwiczenie:
210 tys. km2: Powierzchnia całkowita
2/3 to wartość, jaką w tym rejonie pokrywają powodzie
Aby go rozwiązać, wystarczy znać wartość 2/3 210 tys. km2
210.000. 2/3 = 420 000/3 = 140 tys. km2
Dlatego w porze deszczowej obszar zalewany przez powodzie może osiągnąć przybliżoną wartość 140 000 km2.
pytanie 13
(Enem-2016) Zbiornik pewnego samochodu osobowego mieści do 50 l paliwa, a średnia wydajność tego samochodu na drodze to 15 km/l paliwa. Wyjeżdżając na trasę 600 km kierowca zauważył, że znacznik paliwa znajduje się dokładnie na jednym ze znaków na podziałce znacznika, jak pokazano na poniższym rysunku.
Ponieważ kierowca zna trasę, wie, że do czasu przyjazdu na miejsce jest pięć stacji paliw. zaopatrzenie w paliwo, położone 150 km, 187 km, 450 km, 500 km i 570 km od punktu mecz. Jaka jest maksymalna odległość w kilometrach, jaką możesz przebyć, dopóki nie będzie konieczne zatankowanie pojazdu, aby nie zabrakło paliwa na drodze?
a) 570
b) 500
c) 450
d) 187
e) 150
b) 500.
Aby dowiedzieć się, ile kilometrów może przejechać samochód, pierwszym krokiem jest sprawdzenie, ile paliwa znajduje się w baku.
W tym celu musimy przeczytać znacznik. W tym przypadku wskaźnik oznacza połowę plus połowę połowy. Możemy przedstawić ten ułamek przez:
Dlatego 3/4 zbiornika jest pełne. Teraz musimy wiedzieć, ile litrów równa się temu ułamkowi. Ponieważ w pełni napełniony zbiornik ma 50 litrów, znajdźmy 3/4 z 50:
Wiemy też, że sprawność auta to 15 km na 1 litr, więc robiąc regułę trzech otrzymujemy:
| 15 km | 1 litr |
| x | 37,5 km² |
x = 15. 37,5
x = 562,5 km
Dzięki temu samochód będzie mógł przejechać 562,5 km na paliwie znajdującym się w baku. Musi się jednak zatrzymać, zanim zabraknie mu paliwa.
W takim przypadku będzie musiał zatankować po przejechaniu 500 km, ponieważ jest to stacja benzynowa, zanim zabraknie mu paliwa.
pytanie 14
(Enem-2017) W stołówce letnim sukcesem sprzedażowym są soki z miąższu owoców. Jednym z najlepiej sprzedających się soków jest sok truskawkowy i acerola, który jest przygotowywany z 2/3 miąższu truskawek i 1/3 miąższu z aceroli.
Dla kupca pulpa jest sprzedawana w opakowaniach o jednakowej objętości. Obecnie opakowanie z miazgi truskawkowej kosztuje 18,00 R$, a miazga z aceroli 14,70 R$. Jednak w przyszłym miesiącu spodziewana jest podwyżka cen opakowań z pulpy aceroli, która zacznie kosztować 15,30 juanów.
Aby nie podwyższać ceny soku, handlowiec wynegocjował z dostawcą obniżkę ceny opakowania na miazgę truskawkową.
Rzeczywista obniżka ceny opakowania miazgi truskawkowej powinna wynosić
a) 1,20
b) 0,90
c) 0,60
d) 0,40
e) 0,30
Prawidłowa odpowiedź: e) 0,30.
Najpierw sprawdźmy koszt soku dla kupca przed podwyżką.
Aby znaleźć tę wartość, zsumujmy aktualny koszt każdego owocu, biorąc pod uwagę ułamek użyty do wytworzenia soku. Więc mamy:
Jest to więc kwota, która zostanie zatrzymana przez kupca.
Więc nazwijmy to x kwota, jaką musi zacząć kosztować miazga truskawkowa, aby całkowity koszt pozostał taki sam (16,90 R$) i należy wziąć pod uwagę nową wartość miazgi z aceroli:
Ponieważ pytanie prosi o obniżenie ceny miazgi truskawkowej, to musimy jeszcze dokonać następującego odjęcia:
18 - 17,7 = 0,3
Dlatego obniżka będzie musiała wynieść 0,30 BRL.
pytanie 15
(TJ WE). Jaki ułamek daje początek 254646 dziesiętnemu… w reprezentacji dziesiętnej?
a) 2521/990
b) 2546 / 999
c) 2546/990 9
d) 2546 / 900
e) 2,521 / 999
Odpowiedź: pozycja a
Część (kropka), która się powtarza, to 46.
Powszechną strategią znajdowania frakcji generującej jest izolowanie powtarzającej się części na dwa sposoby.
Dzwoniąc do 2.54646… od x, mamy:
X = 2,54646... (równanie 1)
W równaniu 1, mnożąc przez 10 dwie strony równości, otrzymujemy:
10x = 25,4646... (równanie 2)
W równaniu 1, mnożąc przez 1000 dwie strony równości, otrzymujemy:
100x = 2546,4646... (równanie 2)
Teraz, gdy w tych dwóch wynikach jest tylko 46 powtórzeń, aby go wyeliminować, odejmijmy drugie równanie od pierwszego.
990x = 2521
Izolując x, mamy:
x = 2521/990
Dowiedz się więcej na ten temat. Przeczytaj też:
- Rodzaje ułamków i operacje ułamkowe
- Równoważne ułamki
- Dodawanie i odejmowanie ułamków
