Zbiory liczbowe: naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste

ty zbiory liczbowe połącz kilka zestawów, których elementami są liczby. Tworzą je liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne i rzeczywiste. Dziedziną matematyki badającą zbiory liczbowe jest teoria mnogości.

Sprawdź poniżej cechy każdego z nich, takie jak koncepcja, symbol i podzbiory.

Zestaw liczb naturalnych (N)

Zestaw liczby naturalne jest reprezentowany przez N. Zbiera liczby, których używamy do liczenia (w tym zero) i jest nieskończony.

Podzbiory liczb naturalnych

• N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} lub N* = N – {0}: zbiory liczb naturalnych niezerowych, czyli bez zera.
• N_P = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, gdzie n N: zbiór parzystych liczb naturalnych.
• N_ja = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, gdzie n N: zbiór nieparzystych liczb naturalnych.
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: zbiór liczb naturalnych pierwszych.

Zbiór liczb całkowitych (Z)

Zestaw wszystkie liczby jest reprezentowany przez Z. Łączy wszystkie elementy liczb naturalnych (N) i ich przeciwieństwa. Zatem wnioskujemy, że N jest podzbiorem Z (N ⊂ Z):

Podzbiory liczb całkowitych

• Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} lub Z* = Z – {0}: zbiory niezerowych liczb całkowitych, czyli bez zero.
• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: zbiór liczb całkowitych i nieujemnych. Zauważ, że Z₊ = Nie.
• Z^*₊= {1, 2, 3, 4, 5, ...}: zbiór dodatnich liczb całkowitych bez zera.
• Z _– = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: zbiór niedodatnich liczb całkowitych.
• Z^*_–= {..., –5, –4, –3, –2, –1}: zbiór ujemnych liczb całkowitych bez zera.

Zestaw liczb wymiernych (Q)

Zestaw liczby wymierne jest reprezentowany przez Q. Zbiera wszystkie liczby, które można zapisać w postaci p/q, będąc P i co liczb całkowitych i q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3,..., ±2, ±2/3, ±2/5,..., ±3, ±3/2, ±3/ 4, ...}

Zauważ, że każda liczba całkowita jest również liczbą wymierną. Więc Z jest podzbiorem Q.

Podzbiory liczb wymiernych

• P* = podzbiór niezerowych liczb wymiernych, utworzony przez liczby wymierne bez zera.
• Q₊ = podzbiór nieujemnych liczb wymiernych, utworzony przez dodatnie liczby wymierne i zero.
• Q^*₊ = podzbiór liczb wymiernych dodatnich, utworzony przez liczby wymierne dodatnie, bez zera.
• Q_– = podzbiór niedodatnich liczb wymiernych, utworzony przez ujemne liczby wymierne i zero.
• P*_– = podzbiór ujemnych liczb wymiernych, utworzonych ujemnych liczb wymiernych, bez zera.

Zestaw liczb niewymiernych (I)

Zestaw liczby niewymierne jest reprezentowany przez ja. Zbiera niedokładne liczby dziesiętne z nieskończoną, nieokresową reprezentacją, na przykład: 3.141592... lub 1.203040...

Ważne jest, aby pamiętać, że okresowe dziesięciny są to liczby wymierne, a nie irracjonalne. Są to liczby dziesiętne, które powtarzają się po przecinku, na przykład: 1.3333333...

Zestaw liczb rzeczywistych (R)

Zestaw liczby rzeczywiste jest reprezentowany przez R. Zbiór ten tworzą liczby wymierne (Q) i niewymierne (I). Mamy więc, że R = Q ∪ I. Ponadto N, Z, Q i I są podzbiorami R.

Pamiętaj jednak, że jeśli liczba rzeczywista jest wymierna, to nie może być też irracjonalna. Podobnie, jeśli jest irracjonalny, nie jest racjonalny.

Podzbiory liczb rzeczywistych

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0}: zbiór niezerowych liczb rzeczywistych.
• R₊= {x ∈ R│x ≥ 0}: zbiór nieujemnych liczb rzeczywistych.
• R^*₊= {x ∈ R│x > 0}: zbiór dodatnich liczb rzeczywistych.
• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0}: zbiór niedodatnich liczb rzeczywistych.
• R^*_– = {x ∈ R│x

Przeczytaj także o Liczby: czym są, historia i zbiory.

Zakresy numeryczne

Istnieje nawet podzbiór związany z liczbami rzeczywistymi, zwany interwałami. być i b liczby rzeczywiste i w odstępach rzeczywistych:

ekstremalnie otwarty zasięg: ]a, b[ = {x ∈ R│a

Zamknięty zakres ekstremów: [a, b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

Otwórz zakres po prawej stronie (lub lewostronnie zamknięty) ekstremów: [a, b[ = {x ∈ R│a ≤ x

pozostawiono otwarty zakres (lub zamknięte w prawo) ekstremów: ]a, b] = {x ∈ R│a

Właściwości zbiorów liczbowych

Schemat zbiorów liczbowych

Aby ułatwić badania nad zbiorami liczbowymi, poniżej przedstawiamy niektóre z ich właściwości:

• Zbiór liczb naturalnych (N) jest podzbiorem liczb całkowitych: Z (N ⊂ Z).
• Zbiór liczb całkowitych (Z) jest podzbiorem liczb wymiernych: (Z ⊂ Q).
• Zbiór liczb wymiernych (Q) jest podzbiorem liczb rzeczywistych (R).
• Zbiory liczb naturalnych (N), liczb całkowitych (Z), wymiernych (Q) i niewymiernych (I) są podzbiorami liczb rzeczywistych (R).

Ćwiczenia na egzamin wstępny z informacją zwrotną

1. (UFOP-MG) Odnośnie liczb a = 0,49999... a b = 0,5, prawidłowe jest stwierdzenie:

a) b = a + 0,011111
b) a = b
do) jest irracjonalne i b to racjonalne
daje

Zobacz odpowiedź

Alternatywa b: a = b

2. (UEL-PR) Zwróć uwagę na następujące liczby:

JA. 2,212121...
II. 3,212223...
III. π/5
IV. 3,1416
V. √– 4

Sprawdź alternatywę identyfikującą liczby niewymierne:

a) I i II.
b) I i IV.
c) II i III.
d) II i V.
e) III i V.

Zobacz odpowiedź

Alternatywa c: II i III.

3. (Cefet-CE) Zestaw jest jednolity:

a) {x ∈ Z│x b) {x ∈ Z│x² > 0}
c) {x ∈ R│x² = 1}
d) {x ∈ Q│x² e) {x ∈ N│1

Zobacz odpowiedź

Alternatywa e: {x ∈ N│1

Przeczytaj też:

• Teoria mnogości
• Liczby zespolone
• Operacje na zestawach
• Ćwiczenia na setach
• Ćwiczenia na zestawach liczbowych
• Ćwiczenia na liczbach zespolonych