Wielkości proporcjonalne mają swoje wartości zwiększone lub zmniejszone w zależności, którą można zaklasyfikować jako proporcjonalność bezpośrednią lub odwrotną.
Jakie są proporcjonalne ilości?
Wielkość definiuje się jako coś, co można zmierzyć lub obliczyć, niezależnie od tego, czy jest to prędkość, powierzchnia lub objętość a materiał i warto porównać z innymi miarami, często tej samej jednostki, reprezentującymi a powód.
Proporcja jest relacją równości między stosunkami, a zatem przedstawia porównanie dwóch wielkości w różnych sytuacjach.
Równość między a, b, c i d odczytuje się następująco: a ma się do b jak c ma do d.
Zależność między wielkościami może zachodzić w sposób wprost lub odwrotnie proporcjonalny.
Jak działają ilości wprost i odwrotnie proporcjonalne?
Kiedy zmiana jednej wielkości powoduje, że druga zmienia się w tej samej proporcji, mamy bezpośrednią proporcjonalność. Odwrotną proporcjonalność obserwuje się, gdy zmiana jednej wielkości powoduje przeciwną zmianę w drugiej.
bezpośrednia proporcjonalność
Dwie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy zmiana jednej pociąga za sobą zmianę drugiej w tej samej proporcji, to znaczy podwajając jedną z nich, druga również podwaja się; zmniejszając o połowę, drugi również zmniejsza się o tę samą kwotę... i tak dalej.
Graficznie, wprost proporcjonalna zmiana wielkości w stosunku do innej tworzy linię prostą, która przechodzi przez początek, ponieważ mamy y = k.x, gdzie k jest stałą.
Przykład bezpośredniej proporcjonalności
Na przykład drukarka ma możliwość drukowania 10 stron na minutę. Jeśli podwajamy czas, podwajamy liczbę drukowanych stron. Podobnie, jeśli zatrzymamy drukarkę za pół minuty, otrzymamy połowę oczekiwanych wydruków.
Teraz zobaczymy za pomocą liczb związek między tymi dwiema wielkościami.
W drukarni powstają wydruki podręczników szkolnych. W ciągu 2 godzin powstaje 40 odbitek. W ciągu 3 godzin ta sama maszyna produkuje kolejne 60 nadruków, w 4 godziny 80 nadruków, a po 5 godzinach 100 nadruków.
| Czas (godziny) | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Wyświetlenia (liczba) | 40 | 60 | 80 | 100 |
Stałą proporcjonalności między ilościami określa stosunek czasu pracy maszyny do liczby wykonanych kopii.
Iloraz tego ciągu (1/20) nazywamy stała proporcjonalności (k).
Czas pracy (2, 3, 4 i 5) jest wprost proporcjonalny do ilości egzemplarzy (40, 60, 80 i 100), ponieważ podwajając czas pracy ilość egzemplarzy również się podwaja.
odwrotna proporcjonalność
Dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, gdy wzrost jednej pociąga za sobą zmniejszenie drugiej, to znaczy podwajając ilość, odpowiednia zmniejsza się o połowę; potrajając jedną wielkość, druga zmniejsza ją do trzeciej... i tak dalej.
Graficznie odwrotnie proporcjonalna zmiana jednej wielkości w stosunku do drugiej tworzy hiperbolę, ponieważ mamy y = k/x, gdzie k jest stałą.
Przykład odwrotnej proporcji
Gdy prędkość jest zwiększona, czas na ukończenie kursu jest krótszy. Podobnie, zmniejszając prędkość, potrzeba więcej czasu na wykonanie tej samej ścieżki.
Zobacz poniżej zastosowanie relacji między tymi wielkościami.
João postanowił policzyć czas potrzebny na jazdę rowerem z domu do szkoły z różnymi prędkościami. Zanotuj nagraną sekwencję.
| Czas (min) | 2 | 4 | 5 | 1 |
| Prędkość (m/s) | 30 | 15 | 12 | 60 |
Z numerami sekwencyjnymi możemy stworzyć następującą zależność:
Pisząc jako równość racji, mamy:
W tym przykładzie sekwencja czasowa (2, 4, 5 i 1) jest odwrotnie proporcjonalna do średniej prędkości pedałowania (30, 15, 12 i 60) i stała proporcjonalności k) między tymi ilościami wynosi 60.
Zauważ, że gdy numer sekwencji podwaja się, odpowiedni numer sekwencji jest dzielony o połowę.
Zobacz też: Proporcjonalność
Ćwiczenia skomentowały wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalne
Pytanie 1
Klasyfikuj ilości wymienione poniżej na bezpośrednio lub odwrotnie proporcjonalne.
a) Zużycie paliwa i kilometry przejechane przez pojazd.
b) Ilość cegieł i powierzchnia ściany.
c) Rabat udzielony na produkt i zapłacona cena końcowa.
d) Liczba kranów o tym samym przepływie i czasie do napełnienia basenu.
Poprawne odpowiedzi:
a) Ilości wprost proporcjonalne. Im więcej kilometrów przejedzie pojazd, tym większe zużycie paliwa na pokonanie trasy.
b) Ilości wprost proporcjonalne. Im większa powierzchnia ściany, tym większa liczba cegieł, które będą jej częścią.
c) Ilości odwrotnie proporcjonalne. Im większy rabat udzielony na zakup produktu, tym niższa kwota, jaka zostanie zapłacona za towar.
d) Ilości odwrotnie proporcjonalne. Jeśli krany mają ten sam przepływ, uwalniają tę samą ilość wody. Dlatego im więcej kranów jest otwartych, tym mniej czasu potrzeba na uwolnienie ilości wody potrzebnej do napełnienia basenu.
pytanie 2
Pedro ma w swoim domu basen o długości 6 mi mieści 30 000 litrów wody. Jego brat Antônio również postanawia zbudować basen o tej samej szerokości i głębokości, ale o długości 8 m. Ile litrów wody mieści się w basenie Antônio?
a) 10 000 litrów
b) 20 000 litrów
c) 30 000 litrów
d) 40 000 litrów
Prawidłowa odpowiedź: d) 40 000 L.
Grupując dwie wielkości podane w przykładzie otrzymujemy:
| wielkości | Piotr | Antonio |
| Długość basenu (m) | 6 | 8 |
| Przepływ wody (L) | 30 000 | x |
Według podstawowa właściwość proporcji, w relacji między ilościami iloczyn ekstremów jest równy iloczynowi środków i odwrotnie.
Aby rozwiązać ten problem, używamy x jako nieznana, czyli czwarta wartość, którą należy obliczyć z trzech wartości podanych w zestawieniu.
Korzystając z fundamentalnej własności proporcji, obliczamy iloczyn średnich i iloczynów ekstremów, aby znaleźć wartość x.
Zauważ, że wśród ilości są bezpośrednia proporcjonalność: im większa długość basenu, tym większa ilość wody.
Zobacz też: Stosunek i proporcja
pytanie 3
W stołówce pan Alcides codziennie przygotowuje sok truskawkowy. W ciągu 10 minut i przy użyciu 4 blenderów stołówka może przygotować soki, które zamawiają klienci. Aby skrócić czas przygotowania, Alcides podwoił liczbę blenderów. Ile czasu zajęło przygotowanie soków przy pracujących 8 blenderach?
a) 2 min
b) 3 minuty
c) 4 minuty
d) 5 min
Prawidłowa odpowiedź: d) 5 min.
|
Blendery (numer) |
Czas (minuty) |
| 4 | 10 |
| 8 | x |
Zauważ, że wśród wielkości pytania są odwrotna proporcjonalność: im więcej blenderów wytwarza sok, tym mniej czasu zajmie wszystkim przygotowanie.
Dlatego, aby rozwiązać ten problem, należy odwrócić czas.
Następnie stosujemy podstawową właściwość proporcji i rozwiązujemy problem.
Nie zatrzymuj się na tym, możesz być również zainteresowany:
- Ćwiczenia na rozum i proporcje
- Prosta i złożona zasada trzech
- Ćwiczenia z zasady trzech
