Układy równań pierwszego stopnia składają się z układu równań, które zawierają więcej niż jedną niewiadomą.
Rozwiązywanie systemu polega na znalezieniu wartości, które jednocześnie spełniają wszystkie te równania.
Wiele problemów rozwiązuje się za pomocą układów równań. Dlatego ważne jest, aby znać metody rozwiązywania tego typu obliczeń.
Skorzystaj z rozwiązanych ćwiczeń, aby rozwiać wszystkie wątpliwości dotyczące tego tematu.
Skomentowane i rozwiązane problemy
1) Praktykanci marynarzy - 2017
Suma liczby x i podwójnej liczby y wynosi - 7; a różnica między potrójną liczbą x i liczbą y jest równa 7. Dlatego słuszne jest stwierdzenie, że iloczyn xy jest równy:
a) -15
b) -12
c) -10
d) -4
e) - 2
Zacznijmy od zbudowania równań uwzględniających sytuację proponowaną w zadaniu. Mamy więc:
x + 2.y = - 7 i 3.x - y = 7
Wartości x i y muszą jednocześnie spełniać oba równania. Dlatego tworzą następujący układ równań:
Możemy rozwiązać ten system metodą dodawania. Aby to zrobić, pomnóżmy drugie równanie przez 2:
Dodanie dwóch równań:
Podstawiając wartość x znalezioną w pierwszym równaniu, otrzymujemy:
1 + 2 lata = - 7
2 lata = - 7 - 1
Zatem iloczyn xy będzie równy:
x.y = 1. (- 4) = - 4
Alternatywa: d) - 4
2) Wyższa Szkoła Wojskowa/RJ - 2014
Pociąg jedzie z jednego miasta do drugiego zawsze ze stałą prędkością. Gdy podróż odbywa się z prędkością wyższą o 16 km/h, czas spędzony na trasie zmniejsza się o dwie i pół godziny, a jeśli podróż odbywa się z prędkością mniejszą o 5 km/h, czas ten wydłuża się o godzinę. Jaka jest odległość między tymi miastami?
a) 1200 km
b) 1000 km
c) 800 km
d) 1400 km
e) 600 km
Ponieważ prędkość jest stała, możemy użyć następującego wzoru:
Następnie odległość można znaleźć wykonując:
d = v.t
W pierwszej sytuacji mamy:
v1 = v + 16 i t1 = t - 2,5
Zastępując te wartości we wzorze na odległość:
d = (v + 16). (t-2,5)
d = v.t - 2.5v + 16t - 40
Możemy zastąpić v.t w równaniu d i uprościć:
-2,5v +16t = 40
W sytuacji, gdy prędkość spada:
v2 = v - 5 i t2 = t + 1
Dokonywanie tego samego podstawienia:
d = (v-5). (t+1)
d = v.t + v -5t -5
v - 5t = 5
Za pomocą tych dwóch równań możemy złożyć następujący układ:
Rozwiązując układ metodą podstawienia, wyizolujmy v w drugim równaniu:
v = 5 + 5t
Zastępując tę wartość w pierwszym równaniu:
-2,5 (5 + 5t) + 16t = 40
-12,5 - 12,5t + 16t = 40
3,5t =40 + 12,5
3,5t = 52,5
Zastąpmy tę wartość, aby znaleźć prędkość:
v = 5 + 5. 15
v = 5 + 75 = 80 km/h
Aby znaleźć odległość, po prostu pomnóż znalezione wartości prędkości i czasu. A zatem:
d = 80. 15 = 1200 km
Alternatywnie: a) 1200 km
3) Uczniowie Żeglarza - 2016
Student zapłacił za przekąskę 8 reali za 50 centów i 1 realę. Wiedząc, że do tej zapłaty uczeń zużył 12 monet, ustal odpowiednio kwoty 50 centów i jedną prawdziwą monetę, która została użyta do zapłaty za przekąskę i zaznaczenia właściwej opcji.
a) 5 i 7
b) 4 i 8
c) 6 i 6
d) 7 i 5
e) 8 i 4
Biorąc pod uwagę x liczbę monet 50 centowych, y liczbę monet jednodolarowych oraz kwotę wpłaconą równą 8 realom, możemy zapisać następujące równanie:
0,5x + 1 rok = 8
Wiemy też, że w płatności użyto 12 monet, a więc:
x + y = 12
Montaż i rozwiązywanie systemu poprzez dodanie:
Zastępując znalezioną wartość x w pierwszym równaniu:
8 + y = 12
y = 12 - 8 = 4
Alternatywnie: e) 8 i 4
4) Colégio Pedro II - 2014
Z pudełka zawierającego B białych kulek i P czarnych kulek usunięto 15 białych kulek, pozostając między pozostałymi kulkami w stosunku 1 białej do 2 czarnych. Następnie usunięto 10 czarnych, pozostawiając w pudełku pewną liczbę piłek w stosunku 4 białych do 3 czarnych. Układ równań do określania wartości B i P można przedstawić za pomocą:
Biorąc pod uwagę pierwszą sytuację wskazaną w zadaniu, mamy następującą proporcję:
Mnożąc tę proporcję „w krzyż”, otrzymujemy:
2 (B - 15) = P
2B - 30 = P
2B - P = 30
Zróbmy to samo w następującej sytuacji:
3 (B - 15) = 4 (P - 10)
3B - 45 = 4P - 40
3B - 4P = 45 - 40
3B - 4P = 5
Łącząc te równania w system, znajdujemy odpowiedź na problem.
Alternatywnie: a)
5) Faetec - 2012
Carlos rozwiązał w jeden weekend o 36 więcej ćwiczeń matematycznych niż Nilton. Wiedząc, że łączna liczba zadań rozwiązanych przez oba wynosiła 90, liczba zadań rozwiązanych przez Carlosa jest równa:
a) 63
b) 54
c) 36
d) 27
e) 18
Biorąc pod uwagę x jako liczbę zadań rozwiązanych przez Carlosa, a y jako liczbę zadań rozwiązanych przez Niltona, możemy ustawić następujący system:
Zastępując x przez y + 36 w drugim równaniu, otrzymujemy:
r + 36 + r = 90
2 lata = 90 - 36
Zastępując tę wartość w pierwszym równaniu:
x = 27 + 36
x = 63
Alternatywnie: a) 63
6) Enem/PPL - 2015
Namiot strzelecki w parku rozrywki da uczestnikowi nagrodę w wysokości 20 BRL za każdym razem, gdy trafi do celu. Z drugiej strony, za każdym razem, gdy nie trafia do celu, musi zapłacić 10,00 $. Gra jest bezpłatna. Jeden z uczestników oddał 80 strzałów i ostatecznie otrzymał 100,00 brazylijskich koron. Ile razy ten uczestnik trafił w cel?
a) 30
b) 36
c) 50
d) 60
e) 64
Gdzie x to liczba strzałów, które trafiły w cel, a y to liczba błędnych strzałów, mamy następujący system:
Możemy rozwiązać ten układ metodą dodawania, wszystkie wyrazy drugiego równania pomnożymy przez 10 i dodamy dwa równania:
Dlatego uczestnik trafił do celu 30 razy.
Alternatywnie: a) 30
7) Wróg - 2000
Firma ubezpieczeniowa zebrała dane o samochodach w konkretnym mieście i stwierdziła, że rocznie kradzionych jest średnio 150 samochodów. Liczba skradzionych samochodów marki X jest dwukrotnie większa od liczby skradzionych samochodów marki Y, a marki X i Y łącznie stanowią około 60% skradzionych samochodów. Przewidywana liczba skradzionych samochodów marki Y to:
a) 20
b) 30
c) 40
d) 50
e) 60
Problem wskazuje, że liczba skradzionych samochodów marek x i y razem stanowi 60% całości, a więc:
150.0,6 = 90
Biorąc pod uwagę tę wartość, możemy napisać następujący system:
Podstawiając wartość x w drugim równaniu, otrzymujemy:
2 lata + r = 90
3 lata = 90
Alternatywnie: b) 30
Zobacz też: Ćwiczenia z równania I stopnia z nieznanym
