TEN okresowa dziesięcina jest liczbą, która ma swoją część dziesiętną nieskończoną i okresową, to znaczy, że w części dziesiętnej jest liczba, która się powtarza w nieskończoność. uważany za Liczba wymierna, może być reprezentowana jako frakcja, który jest nazywany generowanie frakcji. Może być również prosty lub złożony.
Przeczytaj też: podział ułamków
Reprezentacja okresowej dziesięciny
Oprócz postaci ułamkowej, znanej jako ułamek generujący, okres dziesiętny może być reprezentowany jako a dwukierunkowa liczba dziesiętna. Na końcu numeru możemy wstawić elipsa (…) czy możemy postawić pęd nad okresem (część powtarzana w dziesięcinie), więc ta sama dziesięcina może być reprezentowana na dwa sposoby. Przykłady:
prosta okresowa dziesięcina
Prosty okresowy dziesiętny ma cała część (przed przecinkiem) i kurs czasu, który pojawia się po przecinku.
Przykłady:
1,333…
1 → cała część
3 → okres
0,76767676…
0 → cała część
76 → okres
składana okresowa dziesięcina
Złożony okresowy dziesiętny ma cała część (przed przecinkiem), część nieokresowa i kurs czasu, który pojawia się po przecinku. Tym, co odróżnia prosty okresowy dziesiętny od złożonego, jest to, że w prostym występuje tylko kropka po przecinku; w złożeniu istnieje część, która nie powtarza się po przecinku.
Przykłady:
1,5888…
1 → cała część
5 → część nieokresowa
8 → okres
32,01656565…
32 → cała część
01 → część nieokresowa
65 → okres
Przeczytaj też:Liczby dziesiętne – naucz się wykonywać operacje matematyczne na tych liczbach
generowanie frakcji
Znalezienie frakcji, która generuje dziesięcinę, nie zawsze jest łatwym zadaniem. Musimy podzielić to na dwa przypadki: kiedy dziesięcina jest prosta i kiedy jest złożona. Aby znaleźć ułamek generujący, używamy równania.
→ Generujący ułamek prostego okresowego dziesiętnego
Przykład:
- Znajdźmy generowanie frakcji dziesięciny 1.353535…
Niech x = 1,353535…, ponieważ ta dziesięcina ma 2 liczby w swoim okresie (35), pomnóżmy x przez 100. Następnie,
100x = 135,3535…
Teraz wykonując odejmowanie,
Jest jeden praktyczna metoda znaleźć tworzący ułamek prostego okresowego dziesiętnego, który unika konstrukcji równań. Znajdźmy ponownie ułamek generujący dziesięcinę 1.353535…, ale praktyczną metodą.
Pierwszy krok: określ okres i całą część.
Cała część → 1
Okres → 35
Drugi krok: znajdź licznik.
Licznik to liczba utworzona przez część całkowitą i kropkę (w przykładzie jest to 135) minus część całkowita, czyli:
135 – 1 = 134
3 krok: znajdź mianownik.
W tym celu oceńmy, ile jest liczb w okresie dziesięciny i dla każdej liczby dodamy liczbę 9 w mianowniku. Ponieważ w tym przypadku są dwie liczby, mianownik to 99. Dlatego ułamek generujący to:
→ Generujący ułamek złożonego okresowego dziesiętnego
Nieco bardziej skomplikowane do znalezienia, tworzące ułamek złożonego okresowego dziesiętnego można również określić za pomocą a równanie.
Przykład:
- Znajdźmy ułamek generujący 2,13444 po przecinku...
Niech x = 2,13444…. pomnóżmy przez 100, aby po przecinku pozostała tylko część okresowa. Następnie,
100x = 213 444….
Z drugiej strony wiemy, że 1000x= 2134.444….
Teraz zrobimy odejmowanie:
Dla złożonego okresowego dziesiętnego występuje również a praktyczna metoda, którego użyjemy do znalezienia ułamka tworzącego złożonego okresowego dziesiętnego 2,13444…
Pierwszy krok: zidentyfikować części okresowej dziesięciny.
Cała część→ 2
Część nieokresowa → 13
Okres →4
Drugi krok: znajdź licznik.
Aby obliczyć licznik, napiszmy liczbę utworzoną przez część całkowitą, część nieokresową i kropkę, czyli 2134 minus cała część i część nieokresowa, czyli 213.
2134 – 213 = 1921
Trzeci krok: znajdź mianownik.
W mianowniku dla każdej liczby w okresie dodajemy a 9a dla każdej liczby w części nieokresowej a 0.W tym przykładzie mianownik to 900.
Frakcja generująca to:
Przeczytaj też: Dzielenie przecinkami – jak to zrobić?
rozwiązane ćwiczenia
1) Z poniższych liczb zaznacz tę, która odpowiada złożonemu okresowemu dziesiętnemu.
a) 3.14159284...
b) 2.21111
c) 0,3333….
d) 121111….
Rozkład:
Alternatywa D.
Analizując alternatywy, musimy:
a) Jest to dziesięcina nieokresowa. Zauważ, że choć jest nieskończona, nie ma możliwości przewidzenia kolejnych liczb.
b) To nie jest dziesięcina.
c) Jest to prosty okresowy dziesiętny.
d) Prawda, ponieważ jest to okresowy złożony dziesiętny.
2) Ułamek generujący 12,3727272 dziesięciny… prawda?
a) 1372/9999
b) 12249/990
c) 12/999
d) 123/990
Rozkład:
Metodą praktyczną mamy: 12372 – 123= 12249, która będzie licznikiem.
Analiza części dziesiętnej:
3 → część nieokresowa
72 → okres
990→ mianownik
Ułamek, który najlepiej reprezentuje to 12249/990, litera B.
