Suma warunków a postęp arytmetyczny (PA) można uzyskać w następujący sposób formuła:
W tej formule SNie reprezentuje suma warunków, a1 to jest pierwszysemestr iNie to jest ostatni, ubiegły, zeszłysemestr danego BP, n to liczba terminów, które będziedodane razem. Aby dodać terminy progresji arytmetycznej, po prostu zastąp wartości w tym wzorze.
Przykłady sumowania terminów w PA
Poniżej znajdują się dwa przykłady, jak formuła przedstawione powyżej można wykorzystać do uzyskania sumaZwarunki z PATELNIA.
→ Przykład 1
Określ sumaZwarunki następujących OP: (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40).
Aby skorzystać z podanej formuły, zwróć uwagę, że:
1 = 2
Nie = 40
n = 20
Te ostatnie dane (liczba terminów) uzyskano przez zliczenie warunki AP. Stosując te dane w formule, będziemy mieli:
Więc sumaZwarunki tego PA wynosi 420.
Zauważ, że ten wzór jest ważny tylko dla progresje arytmetyczne kto ma skończoną liczbą warunków. Jeśli PA jest nieskończony, konieczne będzie ograniczenie liczby dodanych terminów. W takim przypadku może być konieczne skorzystanie z innej wiedzy na temat AP, aby uzyskać ostatni dodany termin.
Zobacz poniżej przykład sumowania warunków nieskończonego PA:
→ Przykład 2
Określ sumę pierwszych 50 warunków następującego BP: (5, 10, 15, …).
Zauważ, że to PATELNIAjest nieskończony, świadczą o tym elipsy. Pierwszy termin to 5, podobnie jak wskaźnik BP, ponieważ 10 – 5 = 5. Ponieważ chcemy znaleźć sumę pierwszych 50 wyrazów, 50. wyraz będzie reprezentowany przez a50. Aby poznać jego wartość, możemy posłużyć się wzorem ogólna kadencja PA:
W tym wzorze r jest stosunkiem BP. Zastąpienie wartości podanych w oświadczeniu w tym formuła, będziemy mieli:
Wiedząc, że 50. wyraz to 250, możemy posłużyć się wzorem sumaZwarunki aby otrzymać sumę pierwszych 50 wyrazów (S50) tego PA:
Gauss i suma wyrazów PA
Mówi się, że niemiecki matematyk Gauss jako pierwszy zastosował alternatywną metodę do: Dodajwarunki z PATELNIA, bez konieczności dodawania terminu po terminie. Później jego pomysłem na uproszczenie kroków okazała się formuła używana do obliczania sumy.
Historia mówi, że jako dziecko Gauss miał nauczyciela, który ukarał całą klasę: zsumował wszystkie liczby od 1 do 100.
Gauss zdał sobie sprawę, że dodanie pierwszej liczby do ostatniej, drugiej do przedostatniej itd. dało ten sam wynik:
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101
…
Jego największym zadaniem było obserwowanie, że dodając dwie liczby, znajdzie 50 wyników równych 101, czyli suma wszystkich liczb od 1 do 100 można znaleźć, wykonując 50 0,101 = 5050.
Wynik uzyskany przez Gaussa można sprawdzić za pomocą formuła sumy warunków AP. Zegarek:
