Liczby pierwsze: czym są i jak je znaleźć?

nazywamy Liczba pierwsza za Liczba naturalna co posiada dwie przegrody: 1 i siebie. Aby znaleźć liczby pierwsze, opracowano sito Eratostenesa. Gdy liczba nie jest liczbą pierwszą, możemy zapisać ją jako mnożenie liczb pierwszych w procesie zwanym faktoryzacją.

Przeczytaj też: Jaka jest wartość cyfry?

Skąd wiesz, czy liczba jest liczbą pierwszą?

Wyszukiwanie liczb pierwszych jest dość powszechne w matematyce. Kiedy dzielimy jedną liczbę przez drugą, a wynik jest dokładny, to znaczy nie pozostawia żadnej pozostałości, ta liczba nazywana jest dzielnikiem. Aby określić, czy liczba jest liczbą pierwszą, czy nie, musimy wiedzieć, jakie są dzielniki tej liczby. Jeśli ta liczba ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i siebie, jest kuzynem; w przeciwnym razie nie jest pierwsza.

Liczba jest nazywana liczbą pierwszą, gdy ma dokładnie dwa dzielniki, 1 i samą siebie.

• Przykład

Liczba 12 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ liczby dzielące 12 to:

D(12) = 1,2,3,4,6 i 12

Liczba 17 jest liczbą pierwszą, ponieważ dzielniki 17 to:

D(17) = 1,17.

Liczby pierwsze są używane w matematyce do różnych celów.

Sito Eratostenesa

Znalezienie liczb pierwszych nie zawsze jest łatwym zadaniem. O metoda najczęściej używane do tego zadania jest sito Eratostenesa, które pozwala znaleźć wszystkie liczby pierwsze między dwiema liczbami.

Za pomocą tej metody znajdźmy na przykład liczby pierwsze od 1 do 100.

Wszystkie liczby od 1 do 100 wypiszemy w zorganizowany sposób. Popatrz:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Wiemy, że 1 ma tylko 1 dzielnik, więc nie jest liczbą pierwszą. Wiemy również, że 2 ma 2 dzielniki, 1 i samo siebie, więc 2 jest liczbą pierwszą. Teraz pozostali numery par wszystkie są podzielne przez 2, więc nie są liczbami pierwszymi. Zaznaczmy więc wszystkie pozostałe liczby parzyste i numer 1 na liście.

Z liczb, które są pozostawione na czarno, wiemy, że 3 ma tylko dwa dzielniki, więc jest liczbą pierwszą. Jednak liczby wielokrotności z 3, podobnie jak 6,9,12,15…, nie są liczbami pierwszymi. Zaznaczymy teraz wszystkie liczby wielokrotności 3, które pozostały na liście.

Wiemy, że liczba 5 jest liczbą pierwszą, ale wielokrotności 5 (które są liczbami kończącymi się na 5 lub 0) nie są, ponieważ 5 jest dzielnikiem tych liczb. Zaznaczmy też te liczby.

Numer 7 jest liczbą pierwszą. Stosując to samo rozumowanie, zaznaczymy wielokrotności 7, które nie zostały jeszcze zaznaczone.

Teraz wiedząc, że 11 jest liczbą pierwszą, poszukajmy wielokrotności liczby 11, ponieważ nie ma wielokrotności 11, wiemy, że skończyliśmy sito.

Pozostałe liczby są liczbami pierwszymi, więc liczby pierwsze od 1 do 100 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97.

Obserwacja: Jeśli chcemy znaleźć liczby pierwsze między większymi liczbami, jak liczby pierwsze od 1 do 200 lub od 1 do 500, proces będzie trwał, dopóki nie znajdziemy liczby pierwszej, która nie ma wielokrotności do przekreślenia stół.

Zobacz też: Kryteria podzielności – procesy ułatwiające funkcjonowanie podziału

Faktoryzacja

Liczbę, która nie jest pierwsza, można rozłożyć na czynniki, to znaczy możemy wykonać to, co nazywamy a rozkład na czynniki pierwsze prime. Ten proces jest przydatny do obliczania MMC to jest MDC.

Aby dokonać dekompozycji, będziemy robić kolejne dzielenia liczby, aż otrzymamy 1.

• Przykład

Zatem rozkład 72 na czynniki pierwsze wynosi 23,3².

Liczby pierwsze od 1 do 1000

Poznaj wszystkie liczby pierwsze, które istnieją między 1 a 1000.

2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43
47	53	59	61	67	71	73	79	83	89	97	101	103	107
109	113	127	131	137	139	149	151	157	163	167	173	179	181
191	193	197	199	211	223	227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311	313	317	331	337	347	349
353	359	367	373	379	383	389	397	401	409	419	421	431	433
439	443	449	457	461	463	467	479	487	491	499	503	509	521
523	541	547	557	563	569	571	577	587	593	599	601	607	613
617	619	631	641	643	647	653	659	661	673	677	683	691	701
709	719	727	733	739	743	751	757	761	769	773	787	797	809
811	821	823	827	829	839	853	857	859	863	877	881	883	887
907	911	919	929	937	941	947	953	967	971	977	983	991	997

rozwiązane ćwiczenia

Pytanie 1 - Czy rozkład liczby 720 na czynniki pierwsze jest równy?

A) 2³. 3². 5

B)2². 3³. 5

C) 2. 3. 5

D)2². 3. 5³

Rozkład

Alternatywa A.

Przeprowadzając faktoryzację, musimy:

Pytanie 2 -Sprawdź prawidłowe oświadczenie:

A) Każda liczba nieparzysta jest liczbą pierwszą.

B) Każda liczba parzysta nie jest liczbą pierwszą.

C) 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

D) 9 to jedyna liczba nieparzysta, która nie jest liczbą pierwszą.

Rozkład

Alternatywa C.
a) Fałsz, ponieważ istnieją liczby nieparzyste i inne. Na przykład 3 jest liczbą pierwszą, ale 15 nie.

b) Fałsz, ponieważ istnieje jedna parzysta liczba pierwsza, liczba 2.

c) Prawda, ponieważ 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą.

d) Fałsz, ponieważ istnieje kilka innych liczb nieparzystych, które nie są pierwsze, takie jak wspomniane 15, 21, 39, między innymi.