O trójkątprostokąt ma kąt pomiar wewnętrzny 90°, czyli ma kąt prosty. Badanie tego typu trójkąta jest bardzo ważne, ponieważ rozwiązuje szereg praktycznych problemów przy użyciu ważnych narzędzi, takich jak twierdzenie Pitagorasa i trygonometria.
Przeczytaj też: Klasyfikacja trójkątów - kryteria i nazwy
Główne cechy trójkąta prawego
Wiadomo, że trójkąt prostokąt ma tylko jeden kąt wewnętrzny mierzony 90°. Oprócz tej funkcji możemy pokazać, że pozostałe kąty wewnętrzne są mniejsze niż 90°.
Rozważ prawy trójkąt ABC:
Wiemy, że suma kątów wewnętrznych dowolnego trójkąta jest równy 180°, więc mamy:
α + β + 90° = 180°
α + β = 180° – 90°
α + β = 90°
Zauważ, że suma kątów α i β daje 90°, co oznacza, że każdy z nich musi być mniejszy niż 90°, ponieważ nie mogą być równe zeru.
Musimy zwrócić uwagę na to nomenklatury używany od teraz. O większybok trójkąta prawego nazywa się przeciwprostokątna. Inne strony są nazywane pekari.
Aby odróżnić nogi od siebie, ustalmy następującą zasadę: noga, która jest okładzina pod pewnym kątem będzie się nazywać kołnierzyk
naprzeciwko; i noga, która jest obok pod pewnym kątem będzie się nazywać sąsiednia noga.Zatem w odniesieniu do kąta α mamy:
a → przeciwna strona
c → sąsiednia strona
W stosunku do kąta β mamy:
c → przeciwna strona
a → sąsiednia strona
Należy również zauważyć, że przeciwprostokątna jest zawsze nieruchoma, tylko pekari z kołnierzem otrzymują to zróżnicowanie w swojej nomenklaturze.
twierdzenie Pitagorasa
Trójkąt prostokątny ma ważny związek algebraiczny, który łączy miarę przeciwprostokątnej z miarami nóg. Związek ten znany jest jako twierdzenie Pitagorasa i w rzeczywistości chodzi o warunek istnienia trójkąta prostokątnego, czyli: jeśli twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe, trójkąt jest prostokątem, i wzajemnie.
„Kwadrat miary przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów miary nóg”.
Czytaj więcej:Twierdzenie Pitagorasa – jak zastosować?
Trygonometria w trójkącie prawym
Widzieliśmy wcześniej, że w trójkącie prostokątnym dwa kąty wewnętrzne są ostreto znaczy mają amplitudę mniejszą niż 90°. Teraz określmy wymiary sinus, cosinus i tangens pod ostrym kątem.
- Sinus kąta to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej.
- cosinus pod kątem jest powód między sąsiednim bokiem a przeciwprostokątną.
- Tangens kąta to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Teraz spójrz na wartości sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym. Zwróć uwagę, że wartości sinusa, cosinusa i tangensa zmieniają się w zależności od kąta odniesienia:
Jeśli chodzi o kąt α, mamy:
W stosunku do kąta β mamy:
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – (PUC-RS) Piłka została wyrzucona z punktu M, weszła na rampę i przeszła do punktu N, jak pokazano na rysunku:
Odległość między M i N wynosi w przybliżeniu:
a) 4,2 m
b) 4,5 m²
c) 5,9 m²
d) 6,5 m
e) 8,5 m²
Rozkład
Alternatywa do.
Zauważ, że aby określić odległość między punktami M i N, najpierw konieczne jest znalezienie miary nogi. Następnie zobacz, że musimy określić miarę nogi przylegającej do kąta 30° i że podana została przeciwprostokątna. Zależność trygonometryczną obejmującą sąsiednią stronę i przeciwprostokątną to cosinus.
Wiemy, że √3 ≈ 1,7. Dlatego piłka porusza się:
1,5 + 2√3 +1
1,5 + 2(1,7) +1
1,5 + 3,4 + 1
4,9 + 1
5,9 m²
Pytanie 2 - (PUC-SP) Jaka jest wartość x na poniższym rysunku?
Rozkład
Najpierw wyznaczmy wymiar nogi naprzeciw kąta 30°. A zatem:
Patrząc tylko na najmniejszy trójkąt, zobacz, że mamy przeciwną stronę do kąta 60° i że musimy określić wartość sąsiedniego boku. W tym celu musimy użyć tangensa kąta.
