Obszar pryzmatu: jak obliczyć, przykłady, ćwiczenia

Pryzmaty są figurami trójwymiarowymi utworzonymi przez dwie przystające i równoległe bazy, bazy z kolei tworzą wielokąty wypukłe. Inne twarze, które są nazwane bocznymi, są tworzone przez równoległoboki. Aby określić pole pryzmatu, konieczne jest wykonanie jego planowanie a następnie obliczyć powierzchnię płaskiej figury.

Przeczytaj też: Różnice między figurami płaskimi a przestrzennymi

Planowanie pryzmatu

Ideą planowania jest przekształcenie trójwymiarowej postaci w dwuwymiarowa figura. W praktyce byłoby to równoznaczne z przecięciem krawędzi pryzmatu. Poniżej przykład planowania trójkątnego pryzmatu.

Ten sam proces można zastosować dla każdego pryzmatuNależy jednak pamiętać, że w miarę zwiększania liczby boków wielokątów bazowych zadanie staje się coraz trudniejsze. Z tego powodu dokonamy uogólnień na podstawie planowania tego wielokąt.

Obliczanie powierzchni bocznej

Obserwując obraz graniastosłupa trójkątnego mamy, że równoległoboki ABFC, ABFD i ACDE są boczne twarze. Zauważ, że boki pryzmatu zawsze będą równoległobokami

niezależnie od liczby boków wielokątów bazowych dzieje się tak, ponieważ są one równoległe i przystające.

Patrząc na trójkątną figurę pryzmatu, widzimy również, że mamy trzy boczne ściany. Wynika to z liczby boków wielokąta podstawy, to znaczy, jeśli podstawy pryzmatu są czworokątne, będziemy mieć cztery ściany boczne, jeśli podstawy są pięciokątem, będziemy mieć pięć ścian bocznych i tak dalej. A zatem: liczba boków wielokąta bazowego wpływa na liczbę bocznych ścian pryzmatu.

Dlatego też obszar boczny (A_L) dowolnego pryzmatu jest podany przez pole powierzchni bocznej pomnożonej przez liczbę ścian bocznych, to znaczy jest to powierzchnia równoległoboku pomnożona przez liczbę boków twarzy.

TEN_L = (podstawa · wysokość) · liczba boków lica

• Przykład

Oblicz boczną powierzchnię graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 3 cm i wysokości równej 11 cm.

Omawiany pryzmat jest reprezentowany przez:

Powierzchnia boczna jest wtedy obliczana jako powierzchnia prostokąta razy liczba boków wielokąta bazowego, która wynosi 6, a więc:

TEN_L = (podstawa · wysokość) · liczba boków lica

TEN_L = (3 · 11) · 6

TEN_L = 198 cm²

Obliczanie powierzchni bazowej

Pryzmaty mogą mieć różne kształty.

TEN obszar bazowy (TEN_b) pryzmatu zależy od wielokąta, który go tworzy. Podobnie jak w pryzmacie mamy dwie równoległe i przystające ściany, pole bazowe jest sumą pól wielokątów równoległych, czyli dwukrotnością pola wielokąta.

TEN_b = 2 · powierzchnia wielokąta

Przeczytaj też:Płaskie obszary figur

• Przykład

Oblicz powierzchnię podstawy graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 3 cm i wysokości równej 11 cm.

Podstawą tego pryzmatu jest sześciokąt foremny, a ten z góry wygląda następująco:

Zauważ, że trójkąty utworzone wewnątrz sześciokąta są równoboczne, więc powierzchnia sześciokąta jest podana przez sześciokrotność obszar trójkąta równobocznego.

Zauważ jednak, że w pryzmacie mamy dwa sześciokąty, więc powierzchnia podstawy jest dwukrotnie większa od powierzchni wielokąta.

Obliczanie całkowitej powierzchni

TEN powierzchnia całkowita (A_T) pryzmatu jest sumą powierzchni bocznej (TEN_L) z podstawą (TEN_b).

TEN_T = A_L + A_b

• Przykład

Oblicz całkowitą powierzchnię graniastosłupa sześciokątnego foremnego o krawędzi podstawy równej 3 cm i wysokości równej 11 cm.

Z poprzednich przykładów mamy, że A_L = 198 cm² i_b = 27√3 cm². W związku z tym całkowita powierzchnia jest podana przez:

Ćwiczenia rozwiązane

Pytanie 1 – Wiata ma kształt graniastosłupa opartego na trapezie, jak pokazano na rysunku.

Chcesz pomalować tę szopę i wiadomo, że cena farby to 20 reali za metr kwadratowy. Ile będzie kosztować malowanie tej szopy? (Dane: √2 = 1,4)

Rozwiązanie

Początkowo określmy obszar szopy. Jego podstawą jest trapez, więc:

Dlatego obszar bazowy to:

TEN_b = 2 ·A_trapez

TEN_b = 2 ·10

TEN_b = 20 m²

Obszar boczny na czerwono to prostokąt, a my mamy spód, więc ten obszar to:

TEN_V = 2 · 4· 14

TEN_V= 112 mln²

Obszar zaznaczony na niebiesko też jest prostokątem, ale nie mamy jego podstawy. Używając twierdzenie Pitagorasa w trójkącie utworzonym przez trapez mamy:

x² = 2² + 2²

x² = 8

x = 2√2

Tak więc obszar prostokąta w kolorze niebieskim to:

TEN_TEN = 2 ·14·2√2

TEN_TEN = 54√2 m²

Dlatego boczna powierzchnia pryzmatu jest równa:

TEN_L = 112 + 54√2

TEN_L = 112 + 75,6

TEN_L = 187,6 mln²

I tak całkowita powierzchnia tego pryzmatu wynosi:

TEN_T= 20 + 187,6

TEN_T= 207,6 m²

Ponieważ cena farby wynosi 20 reali za metr kwadratowy, kwota wydana na pomalowanie szopy wynosi:

20 ·207,6 = 4152 reali

Odpowiadać: Kwota wydana na pomalowanie szopy to 4 152,00 R$

Robson Luiz
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calculo-area-um-prisma.htm