Podstawowa myśl o położeniu punktu w stosunku do okręgu polega na tym, że punkt ten może przyjmować trzy różne pozycje. Ale jak właściwie zweryfikować położenie punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej w stosunku do okręgu, którego równanie znamy? W tym celu będziemy musieli obliczyć odległość od punktu do środka okręgu lub zastąpić ten punkt w równaniu okręgu i przeanalizować otrzymany wynik.
Zanim zaczniemy tę analizę algebraiczną, spójrzmy na trzy pozycje kropek:
• Punkt znajduje się wewnątrz okręgu. Dzieje się tak tylko wtedy, gdy odległość od punktu do środka jest mniejsza niż promień.
• Punkt należy do okręgu. Dzieje się tak, jeśli odległość od tego punktu do środka jest równa promieniowi.
• Punkt znajduje się poza okręgiem. Dzieje się tak, gdy odległość od punktu do środka jest większa niż promień.
Dlatego, gdy musimy sprawdzić względną pozycję punktu względem okręgu, musimy obliczyć odległość między środkiem a punktem lub wstaw współrzędne punktu do równania okręgu i sprawdź wartość uzyskane liczbowo.
Przykład:
Gdy równanie obwodu ma postać zredukowaną, nie trzeba używać wzoru na odległość, ponieważ zredukowane równanie podaje odległość tych dwóch punktów, wystarczy rozwiązać lewą stronę równości i porównać wynik z promień (4²).
• Punkt H (2,3);
Ponieważ odległość od punktu H była równa promieniowi, możemy powiedzieć, że ten punkt należy do okręgu.
• Punkt I (3.3);
W tym przypadku przyrównujemy 16 oczekując, że wynik będzie równy 16, aby punkt należał do okręgu, ale wykonując obliczenia otrzymujemy wartość większą niż promień, więc punkt jest poza obwód.
• Punkt J (3,2);
Ale jak przeanalizowalibyśmy punkt, gdyby równanie obwodu miało swoją ogólną postać? Procedura jest bardzo podobna, jednak w ogólnym równaniu nie mamy wyrażenia algebraicznego równego promieniowi okręgu. Spójrzmy na ten sam okrąg, co w poprzednim przykładzie, ale napisany w jego ogólnej formie.
Zauważ, że jeśli weźmiemy punkty należące do okręgu, powyższe równanie powinno wynosić zero. Jeśli nie, punkt nie należy do koła. Przyjrzyjmy się tym samym punktom z poprzedniego przykładu, ale korzystając z ogólnego równania:
• Punkt H (2,3);
Ponieważ odległość od punktu H była równa promieniowi, możemy powiedzieć, że ten punkt należy do okręgu.
• Punkt I (3.3);
W tym przypadku przyrównujemy 16 oczekując, że wynik będzie równy 16, aby punkt należał do okręgu, ale wykonując obliczenia otrzymujemy wartość większą niż promień, więc punkt jest poza obwód.
• Punkt J (3,2);
Autor: Gabriel Alessandro de Oliveira
Ukończył matematykę
Brazylijska drużyna szkolna
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-entre-ponto-circunferencia.htm