Twierdzenie D'Alemberta

---

O Twierdzenie D'Alemberta to pozwala wiedzieć, czy a wielomianP(x) jest podzielne przez dwumian typu ax + b, nawet przed wykonaniem dzielenia między nimi.

Innymi słowy, twierdzenie pozwala nam wiedzieć, czy reszta R z dzielenia jest równa zero, czy nie. Twierdzenie to jest bezpośrednią konsekwencją twierdzenie o resztach do dzielenia wielomianów. Zrozum, dlaczego poniżej.

twierdzenie o resztach

Dzieląc wielomian P(x) przez dwumian typu ax + b, reszta R jest równa wartości P(x), gdy x jest pierwiastkiem dwumianu ax + b.

Pierwiastek dwumianu: ax + b = 0 ⇒ x = -b/a. Tak więc, zgodnie z twierdzeniem o resztach, musimy:

R = P(-b/a)

Teraz zobacz, że jeśli P(-b/a) = 0, to R = 0 i jeśli R = 0, mamy podzielność między wielomianami. I dokładnie to mówi nam twierdzenie D'Alemberta.

Twierdzenie D'Alemberta: jeśli P(-b/a) = 0, to wielomian P(x) jest podzielny przez dwumian ax + b.

Przykład 1

Sprawdź, czy wielomian P(x) = 6x² + 2x jest podzielny przez 3x + 1.

1.) Określamy pierwiastek 3x + 1:

-b/a = -1/3

2) Zamieniamy x przez -1/3 w wielomianu P(x) = 6x² + 2x:

P(-1/3) = 6.(-1/3)² + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6.(1/9) + 2.(-1/3)
P(-1/3) = 6/9 - 2/3
P(-1/3) = 2/3 - 2/3
P(-1/3) = 0

Ponieważ P(-1/3) = 0, wielomian P(x) = 6x² + 2x jest podzielny przez 3x + 1.

Sprawdź darmowe kursy

• Bezpłatny kurs edukacji włączającej online
• Bezpłatna biblioteka zabawek online i kurs edukacyjny
• Darmowy kurs gier matematycznych online w edukacji wczesnoszkolnej
• Bezpłatny internetowy kurs pedagogicznych warsztatów kulturalnych

Przykład 2

Sprawdź, czy wielomian P(x) = 12x³ + 4x² – 8x jest podzielny przez 4x.

1.) Określamy pierwiastek z 4x:

-b/a = -0/4 = 0

2. Zamieniamy x na 0 w wielomianu P(x) = 12x³ + 4x² – 8x:

P(0) = 12,0³ + 4,0² - 8,0
P(0) = 0 + 0 - 0
P(0) = 0

Ponieważ P(0) = 0, wielomian P(x) = 12x³ + 4x² – 8x jest podzielny przez 4x.

Przykład 3

Sprawdź, czy wielomian P(x) = x² – 2x + 1 jest podzielny przez x – 2.

1.) Określamy pierwiastek z x – 2:

-b/a = -(-2)/1 = 2

2.) Zamieniamy x przez 2 w wielomianu P(x) = x² - 2x + 1:

P(2) = 2² - 2,2 + 1
P(2) = 4 - 4 +1
P(2) = 1

Ponieważ P(2) ≠ 0, wielomian P(x) = x² – 2x + 1 nie jest podzielny przez x – 2.

Możesz być również zainteresowany:

• Dzielenie wielomianowe — metoda kluczowa
• funkcja wielomianu
• Faktoring wielomianowy

Hasło zostało wysłane na Twój e-mail.