Ćwiczenia z liczbami złożonymi: lista rozwiązanych pytań i informacje zwrotne

ty Liczby zespolone umożliwiają rozwiązywanie problemów matematycznych, które nie mają rozwiązań w zbiorze liczby rzeczywiste.

W liczbie zespolonej zapisanej jako $\dpi{120} z = a+ bi$ mówimy, że $\dpi{120} do$ jest prawdziwa część, $\dpi{120} b$ jest częścią urojoną i $\dpi{120} i =\sqrt{-1}$ jest to wyimaginowana jednostka.

Występować operacje na liczbach zespolonych, istnieje kilka wyrażeń, które ułatwiają obliczenia. Rozważać $\dpi{120} z_1 = a+ bi$ i $\dpi{120} z_2 = c + di$ .

Wyrażenie dodawania między liczbami zespolonymi:

$\dpi{120} z_1 + z_2= (a+c)+(b + d) i$

Wyrażenie odejmowania między liczbami zespolonymi:

$\dpi{120} z_1 - z_2= (a-c)+(b - d) i$

Wyrażenie mnożenia między liczbami zespolonymi:

$\dpi{120} z_1 \cdot z_2= (ac - db)+(ad +cb) i$

Wyrażenie dzielenia między liczbami zespolonymi:

$\dpi{120} \frac{z_1}{z_2}= \frac{(ac + bd)}{c^2 + d^2} + \frac{(bc - ad)}{c^2 + d^2 }ja$

Poniżej znajduje się lista pytania rozwiązywane ćwiczeniami na liczbach zespolonych. Naucz się używać każdego z pojęć dotyczących tych liczb!

Indeks

Lista ćwiczeń na liczbach zespolonych
Rozwiązanie pytania 1
Rozwiązanie pytania 2
Rozwiązanie pytania 3
Rozwiązanie pytania 4
Rozwiązanie pytania 5
Rozwiązanie pytania 6
Rozwiązanie pytania 7
Rozwiązanie pytania 8

Lista ćwiczeń na liczbach zespolonych

Pytanie 1. Biorąc pod uwagę liczby zespolone $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ , $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ i $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ określić wartość $\dpi{120} A$ , Gdy $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

instagram story viewer

Pytanie 2. Znajdź wartości $\dpi{120} x$ i $\dpi{120} y$ takie, że $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Pytanie 3. Biorąc pod uwagę liczby zespolone $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ i $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ , określ wartość $\dpi{120} A\cdot B$ , Gdy $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ i $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Pytanie 4. Oblicz wartość $\dpi{120} p$ i $\dpi{120} q$ Po co $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Gdy $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ i $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Pytanie 5. Określ wartość value $\dpi{120} do$ Po co $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ być czystą liczbą urojoną.

Pytanie 6. Oblicz następujące urojone moce jednostkowe $\dpi{120} i$ :

) $\dpi{120} i^{16}$
B) $\dpi{120} i^{200}$
do) $\dpi{120} i^{829}$
re) $\dpi{120} i^{11475}$

Pytanie 7. Znajdź rozwiązanie równania $\dpi{120} x^2 + 9 = 0$ w zbiorze liczb zespolonych.

Pytanie 8. Określ rozwiązanie równania $\dpi{120} x^2 + x + 1 = 0$ w zbiorze liczb zespolonych.

Rozwiązanie pytania 1

Mamy $\dpi{120} z_1 = 2 + 3i$ i $\dpi{120} z_2 = 2 - 5i$ i $\dpi{120} z_3 = -1 + 4i$ i chcemy wyznaczyć wartość $\dpi{120} A$ , Gdy $\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$ .

Najpierw obliczmy $\dpi{120} 4z_3$ i $\dpi{120} 3z_1$ , osobno:

$\dpi{120} 4z_3 = 4.(-1 + 4i) = -4 + 16i$

$\dpi{120} 3z_1 = 3.(2 + 3i) = 6 + 9i$

Teraz policzmy $\dpi{120} A$ :

$\dpi{120} A= z_2 +4z_3 -3z_1$

$\dpi{120} \Rightarrow A= (2 - 5i) +(-4+16i) -(6+9i)$

$\dpi{120} \Strzałka w prawo A= (2-4-6) + (-5+16-9)i$

$\dpi{120} \Rightarrow A= -8 + 2i$

Rozwiązanie pytania 2

Chcemy znaleźć x i y, aby $\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Wyrażając sumę między dwiema liczbami zespolonymi, musimy:

$\dpi{120} (2 +xi) + (y-5i) = 3-i$

$\dpi{120} \Rightarrow (2 + y) + (x-5)i = 3-i$

Więc musimy mieć $\dpi{120} (2 + y) = 3$ i $\dpi{120} (x-5)i=-i$ . Rozwiążmy te dwa równania, aby znaleźć x i y.

$\dpi{120} (2 + y) = 3\strzałka w prawo y = 3-2\strzałka w prawo y =1$

$\dpi{120} (x-5)i=-i\Rightarrow x- 5 = -1 \Rightarrow x = -1 + 5 \Rightarrow x = 4$

Rozwiązanie pytania 3

Mamy $\dpi{120} z_1 = -2 - 5i$ i $\dpi{120} z_2 = 1 + 3i$ i chcemy wyznaczyć wartość $\dpi{120} A\cdot B$ , Gdy $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ i $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

Najpierw obliczamy $\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$ .

$\dpi{120} A=z_1\cdot \bar{z_1}$

$\dpi{120} \Strzałka w prawo A = (-2 - 5i)\cdot (-2+5i)$

Wyrażając mnożenie dwóch liczb zespolonych, musimy:

$\dpi{120} A =[(-2)\cdot (-2) -(-5)\cdot 5 ]+[(-2)\cdot 5 + (-5)\cdot (-2)]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =[4+25]+[-10 +10]$

$\dpi{120} \Rightarrow A =29$

Teraz policzmy $\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$ .

$\dpi{120} B=z_2\cdot \bar{z_2}$

$\dpi{120} \Rightarrow B = (1 + 3i)\cdot (1-3i)$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1\cdot 1 - 3\cdot (-3)] +[1\cdot (-3)+1\cdot 3]i$

$\dpi{120} \Rightarrow B = [1 + 9] +[-3+3]i$

$\dpi{120} \Strzałka w prawo B = 10$

W związku z tym, $\dpi{120} A\cdot B = 29\cdot 10 = 290$ .

Rozwiązanie pytania 4

Chcemy obliczyć wartość $\dpi{120} p$ i $\dpi{120} q$ Po co $\dpi{120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Gdy $\dpi{120} z_1 = 3 - pi$ i $\dpi{120} z_2 = 1 + 2i$ .

Oznacza znalezienie $\dpi{120} p$ i $\dpi{120} q$ po to aby:

Sprawdź darmowe kursy

Bezpłatny kurs edukacji włączającej online
Bezpłatna biblioteka zabawek online i kurs edukacyjny
Darmowy kurs gier matematycznych online w edukacji wczesnoszkolnej
Bezpłatny internetowy kurs pedagogicznych warsztatów kulturalnych

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = q + 2i$

Wyrażając dzielenie między dwiema liczbami zespolonymi, musimy:

$\dpi{120} \frac{3-pi}{1+2i} = \frac{[3\cdot 1+(-p)\cdot 2]}{1^2+2^2} + \frac{[ (-p)\cdot 1-3\cdot 2]}{1^2+2^2}i = \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i$

Łącząc dwa warunki musimy mieć:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} + \frac{(-p - 6)}{5}i = q + 2i$

To znaczy:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q \: \: \mathrm{e}\: \: \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

Rozwiążmy każde z tych równań, zaczynając od drugiego, które zależy tylko od p.

$\dpi{120} \frac{(-p-6)}{5}i = 2i$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{(-p-6)}{5} = 2$

$\dpi{120} \Rightarrow -p - 6 = 10$

$\dpi{120} \Strzałka w prawo p = -16$

Teraz znajdujemy q według drugiego równania:

$\dpi{120} \frac{3 - 2p}{5} = q$

$\dpi{120} \Rightarrow \frac{3 - 2\cdot (-16)}{5} = q$

$\dpi{120} \Strzałka w prawo q = 7$

Rozwiązanie pytania 5

Chcemy znaleźć wartość $\dpi{120} do$ Po co $\dpi{120} (a + 3i): (3 + 2i)$ być czystą liczbą urojoną.

Czysta liczba urojona to taka, której część rzeczywista jest równa zeru.

Biorąc pod uwagę wyrażenie dzielenia między dwiema liczbami zespolonymi, mamy, że:

$\dpi{120} \frac{a + 3i}{3 + 2i} = \frac{a\cdot 3 + 3\cdot 2}{3^3 + 2^2} + \frac{3\cdot 3 - a \cdot 2}{3^3 + 2^2}i = \frac{3a + 6}{13} + \frac{9-2a}{13}i$

Aby ta liczba była czysto urojona, musimy mieć:

$\dpi{120} \frac{3a + 6}{13} = 0$

$\dpi{120} \Strzałka w prawo 3a + 6 = 0$

$\dpi{120} \Strzałka w prawo a = -2$

Rozwiązanie pytania 6

Definiując potęgi i liczby zespolone musimy:

$\dpi{120} i^0 = 1$
$\dpi{120} i^1 = i$
$\dpi{120} i ^2 = -1$
$\dpi{120} i^3 = -i$
$\dpi{120} i^4=1$
$\dpi{120} i^5 = i$
$\dpi{120} i^6 = -1$
$\dpi{120} i^7 = -i$

Obserwuj wzór, który powtarza się co cztery kolejne potęgi: 1, i, -1 i -i.

Tak więc, aby znaleźć wynik dla dowolnej potęgi i, wystarczy podzielić wykładnik przez 4. Pozostała część dzielenia będzie wynosić 0, 1, 2 lub 3 i ta wartość będzie wykładnikiem, którego powinniśmy użyć.

) $\dpi{120} i^{16}$

16: 4 = 4, a reszta to 0.

Następnie, $\dpi{120} i^{16} = i^0 = 1$ .