Ćwiczenia na rozum i proporcje

W matematyce, gdy chcemy porównać dwie wielkości, obliczamy iloraz między ich odpowiednimi pomiarami. Ten iloraz nazywa się powód.

Równość dwóch powodów nazywa się proporcja i zgodnie ze stosunkiem zmienności między wielkościami, możemy mieć ilości bezpośrednio lub odwrotnie proporcjonalne.

Ilości wprost proporcjonalne: kiedy wzrost jednego z nich prowadzi do wzrostu drugiego, a zmniejszenie jednego prowadzi do zmniejszenia drugiego.
Ilości pośrednio proporcjonalne: kiedy wzrost jednego z nich prowadzi do redukcji drugiego, lub kiedy redukcja jednego prowadzi do wzrostu drugiego.

Aby dowiedzieć się więcej, sprawdź a lista rozwiązanych ćwiczeń o proporcjach i proporcjach, który przygotowaliśmy.

Indeks

Lista ćwiczeń na proporcje i proporcje
Rozwiązanie pytania 1
Rozwiązanie pytania 2
Rozwiązanie pytania 3
Rozwiązanie pytania 4
Rozwiązanie pytania 5
Rozwiązanie pytania 6
Rozwiązanie pytania 7
Rozwiązanie pytania 8

Lista ćwiczeń na proporcje i proporcje

Pytanie 1. Określ stosunek powierzchni kwadratu o bokach równych 50 centymetrom do kwadratu o bokach równych 1,5 metra. Zinterpretuj otrzymaną liczbę.

instagram story viewer

Pytanie 2. W teście z matematyki z 15 pytaniami Eduarda dostała 12. Jaka była wydajność Eduardy w teście?

Pytanie 3. Odległość między dwoma miastami wynosi 180 kilometrów, ale na mapie odległość ta była reprezentowana przez 9 cm. Jaka skala jest używana na tej mapie? Zinterpretuj uzyskaną skalę.

Pytanie 4. Sprawdź, czy poniższe powody układają się w proporcje:

) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{8} \: \mathrm{e }\: \frac{9}{24}$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{5} \: \mathrm{e }\: \frac{18}{25}$

do) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{150}{50} \: \mathrm{e }\: \frac{12}{4}$

Pytanie 5. Określ wartość value $\dpi{100} \bg_white \duża x$ w każdej z następujących proporcji:

) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

do) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

re) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

i) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

Pytanie 6. Określ wartość value $\dpi{100} \bg_white \duża x$ w następującej proporcji:

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

Pytanie 7. Aby zrobić przepis na chleb, potrzebne są 3 jajka na każde 750 gramów mąki pszennej. Ile jaj będzie potrzebnych na 5 kg mąki.

Pytanie 8. Aby zakończyć pracę, 15 pracowników spędza 30 dni. Ile dni spędziło 9 pracowników, aby wykonać tę samą pracę?

Rozwiązanie pytania 1

Mamy kwadrat o boku 50 cm i kwadrat o boku 1,5m.

Potrzebujemy pomiarów w tej samej jednostce. Przekształćmy więc 1,5 m na centymetry:

1,5x100 cm = 150 cm

To znaczy 1,5 m = 150 cm.

Teraz obliczmy powierzchnia każdego z kwadratów:

TEN jeden kwadratowy obszar jest miarą kwadratu boku:

L = 50 cm ⇒ Powierzchnia = 2500 cm ²

L = 150 cm ⇒ Powierzchnia = 22500 cm ²

Zatem stosunek powierzchni kwadratu o boku równym 50 cm do powierzchni kwadratu o boku równym 150 cm wyraża się wzorem:

$\dpi{100} \bg_white \large Raz\tilde{a}o = \frac{2500}{22500} = \frac{1}{9}$

Interpretacja: Powierzchnia kwadratu o boku równym 1,5 m to 9 razy powierzchnia kwadratu o boku równym 50 cm.

Rozwiązanie pytania 2

Obliczmy stosunek liczby pytań, które Eduarda zadała poprawnie, do liczby pytań w teście:

$\dpi{100} \bg_white \large Raz\tilde{a}o = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Stosunek ten oznacza, że na każde 5 pytań Eduarda odpowiedziała poprawnie na 4 i jako 4/5 = 0,8, więc wykorzystanie Eduardy w teście wyniosło 80%.

Rozwiązanie pytania 3

Skala to specjalny rodzaj stosunku między długością na rysunku a długością rzeczywistą.

Mamy:

Odległość na mapie = 9 cm

Rzeczywista odległość = 180 km

Najpierw musimy wyrazić obie miary w tej samej jednostce. Przekształćmy 180 km na centymetry:

180 x 100000 cm = 180 00000 cm

Zatem 180 km = 180 00000 cm.

Teraz obliczmy skalę:

$\dpi{100} \bg_white \large Skala = \frac{9}{18000000} = \frac{1}{2000000}$

Interpretacja: Skala użyta na mapie to 1:2000000, co oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada 2000000 cm w rzeczywistej odległości.

Rozwiązanie pytania 4

Proporcja to równość między dwoma stosunkami, a jedną z właściwości proporcji jest to, że iloczyn składników skrajnych jest równy iloczynowi składników środkowych.

Sprawdź darmowe kursy

Bezpłatny kurs edukacji włączającej online
Bezpłatna biblioteka zabawek online i kurs edukacyjny
Darmowy kurs gier matematycznych online w edukacji wczesnoszkolnej
Bezpłatny internetowy kurs pedagogicznych warsztatów kulturalnych

Tak więc, aby dowiedzieć się, czy dwa stosunki tworzą proporcję, wystarczy pomnożyć krzyż i sprawdzić, czy uzyskany wynik jest taki sam.

) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{8} \: \mathrm{e }\: \frac{9}{24}$

3. 24 = 72

9. 8 = 72

Wynik jest taki sam dla obu produktów, więc proporcje tworzą proporcje.

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{5} \: \mathrm{e }\: \frac{18}{25}$

2. 25 = 50

18. 5 = 90

Wynik nie jest taki sam dla obu produktów, więc proporcje nie tworzą proporcji.

do) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{150}{50} \: \mathrm{e }\: \frac{12}{4}$

150. 4 = 600

12. 50 = 600

Wynik jest taki sam dla obu produktów, więc proporcje tworzą proporcje.

Rozwiązanie pytania 5

Aby określić wartość x, po prostu pomnóż krzyż i rozwiąż odpowiednie równanie.

) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

$\dpi{100} \bg_white \large 63\cdot x = 7 \cdot 9\Rightarrow 63\cdot x = 63 \Rightarrow x = \frac{63}{63} \Rightarrow x = 1$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

$\dpi{100} \bg_white \large 8\cdot x = 2 \cdot 32\Rightarrow 8\cdot x = 64 \Rightarrow x = \frac{64}{8} \Rightarrow x = 8$

do) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

$\dpi{100} \bg_white \large 2\cdot 2x = 3 \cdot 10\Rightarrow 4\cdot x = 30\Rightarrow x = \frac{30}{4} \Rightarrow x = 7,5$

re) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

$\dpi{100} \bg_white \large 11\cdot x = 3,7 \cdot55\Rightarrow 11\cdot x = 203,5 \Rightarrow x = \frac{203.5}{11} \Rightarrow x = 18,5$

i) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

$\dpi{100} \large 2\cdot (x + 50) = 9 \cdot (x + 8)\Rightarrow 2x + 100 = 9x + 72x$

$\dpi{100} \bg_white \large \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = \frac{28}{7} \Rightarrow x = 4$

Rozwiązanie pytania 6

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

Mnożąc krzyż, otrzymujemy:

$\dpi{100} \bg_white \large x\cdot x = 24 \cdot 6\Rightarrow x^2 = 144\Rightarrow x = \sqrt{144} \Rightarrow x = \pm 12$

Rozwiązanie pytania 7

Najpierw zapiszmy dwa pomiary mąki w tej samej jednostce. Przekształćmy 5 kg na gramy:

5 x 1000 gramów = 5000 gramów

Czyli 5 kg = 5000 gramów.

Mamy proporcję o nieznanej wartości:

3 jajka → 750 gramów mąki

x jajka → 5000 gramów mąki

To znaczy,

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{x} = \frac{750}{5000}$

Pomnóżmy krzyż, aby znaleźć wartość x:

$\dpi{100} \bg_white \large 750\cdot x = 3\cdot 5000\Rightarrow 750 \cdot x = 15000\Rightarrow x = \frac{15000}{750} \Rightarrow x = 20$

Tak więc na 5 kg mąki pszennej potrzebne będzie 20 jaj.

Rozwiązanie pytania 8

Mamy proporcję o nieznanej wartości:

15 pracowników → 30 dni

9 pracowników → x dni

Zwróć uwagę, że gdy liczba pracowników spada, liczba dni na wykonanie pracy musi wzrosnąć. Zatem stosunki są pośrednio proporcjonalne i musimy zmienić kolejność licznika i mianownika jednego z nich:

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{15}{9} = \frac{x}{30}$