TEN scharakteryzowano równanie drugiego stopnia dla jednego wielomian stopnia 2, czyli wielomian typu ax2+bx+c, gdzie , b i do oni są liczby rzeczywiste. Rozwiązując równanie stopnia 2, interesuje nas znalezienie wartości dla nieznanego. x to sprawia, że wartość wyrażenia równa się 0, które nazywamy pierwiastkami, czyli ax2 + bx + c = 0.
Przeczytaj też: Różnice między funkcją a równaniem
Rodzaje równań II stopnia
Równanie drugiego stopnia może być reprezentowana przez ax²+bx+c=0, gdzie współczynniki , b i do są liczbami rzeczywistymi, z ≠ 0.
→ Przykłady
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b =4 i c = – 6
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 i c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 i c = -1
Równanie drugiego stopnia jest klasyfikowane jako kompletny gdy wszystkie współczynniki są różne od 0, to znaczy ≠ 0, b ≠ 0 i do ≠ 0.
Równanie drugiego stopnia jest klasyfikowane jako niekompletny gdy wartość współczynników b lub do są równe 0, czyli b = 0 lub c = 0.
→ Przykłady
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 i c = – 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 i c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b=0 i c=0
Heads-up: wartość współczynnika nigdy nie jest równe 0, jeśli tak się stanie, równanie nie jest już drugim stopniem.
Jak rozwiązywać równania II stopnia?
Rozwiązanie równania drugiego stopnia występuje, gdy korzenie są znalezione, czyli wartości przypisane do x. Te wartości x musi sprawić, że równość będzie prawdziwa, to znaczy przez podstawienie wartości x w wyrażeniu wynik musi być równy 0.
→ Przykład
Biorąc pod uwagę równanie x2 – 1 = 0 mamy, że x’ = 1 i x’’ = – 1 to rozwiązania równania, bo podstawiając te wartości w wyrażeniu, mamy prawdziwą równość. Popatrz:
x2 – 1 = 0
(1)2 – 1 = 0 i (–1)2 – 1 = 0
Aby znaleźć rozwiązanie równanie, należy przeanalizować, czy równanie jest kompletne i niekompletne oraz wybrać metodę, która zostanie zastosowana.
Metoda rozwiązywania równań typu topór²+ c = 0
Metoda wyznaczania rozwiązania niekompletnych równań, które mają b=0polega na izolowaniu nieznanego x, a więc:
→ Przykład
Znajdź pierwiastki równania 3x2 – 27 = 0.
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tej metodzie, przejdź do: Niepełne równanie II stopnia o zerowym współczynniku b.
Metoda rozwiązywania równań typu topór2 + bx = 0
Metoda wyznaczania możliwych rozwiązań równania z do =0, polega na użyciu faktoring dowodowy. Popatrz:
topór2 + bx = 0
x·(ax + b) = 0
Patrząc na ostatnią równość, można zauważyć, że istnieje mnożenie i aby wynik był równy 0, konieczne jest, aby co najmniej jeden z czynników był równy 0.
x·(ax + b) = 0
x = 0 lub topór + b = 0
Zatem rozwiązanie równania podaje wzór:
→ Przykład
Określ rozwiązanie równania 5x2 – 45x = 0
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o tej metodzie, przejdź do: niekompletne równanie drugiego stopnia o zerowym współczynniku c.
Metoda rozwiązywania pełnych równań
Metoda znana jako Metoda Bhaskary lub Formuła Bhaskary wskazuje, że pierwiastki równania drugiego stopnia typu ax2 + bx + c = 0 wynika z następującej zależności:
→ Przykład
Określ rozwiązanie równania x2 – x – 12 = 0.
Zauważ, że współczynniki w równaniu to: a = 1; b= – 1 i do = – 12. Podstawiając te wartości we wzorze Bhaskary, mamy:
Delta (Δ) nosi imię dyskryminacyjny i zauważ, że jest w środku a pierwiastek kwadratowy a jak wiemy, biorąc pod uwagę liczby rzeczywiste, nie jest możliwe wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej.
Znając wartość dyskryminatora, możemy wypowiedzieć się na temat rozwiązania równania II stopnia:
→ pozytywny dyskryminator (Δ > 0): dwa rozwiązania równania;
→ dyskryminator równy zero (Δ = 0): rozwiązania równania są powtarzane;
→ ujemny wyróżnik (Δ < 0): nie dopuszcza prawdziwego rozwiązania.
Systemy równań drugiego stopnia
Gdy rozważamy jednocześnie dwa lub więcej równań, mamy a układ równań. Rozwiązaniem systemu 2-zmiennego jest zestaw zamówionych par który jednocześnie spełnia wszystkie wymagane równania.
→ Przykład
Rozważmy system:
Przy wartościach: x’ = 2, x’’ = – 2 i y’ = 2, y’’ = – 2 możemy składać pary uporządkowane, które spełniają jednocześnie równania systemowe. Zobacz: (2, 2), (2, – 2), (– 2, 2), (– 2, – 2).
Przypomnijmy, że uporządkowana para jest zapisana w postaci (x, y).
Metody znajdowania rozwiązania układu równań są podobne do metody systemy liniowe.
→ Przykład
Rozważmy system:
Z równania x – y = 0 wyizolujmy niewiadomą x, a zatem:
x - y = 0
x = y
Teraz musimy podstawić wyizolowaną wartość do drugiego równania, tak jak to:
x2 – x –12 = 0
tak2 – r –12 = 0
Stosując metodę Bhaskary musimy:
Ponieważ x = y, będziemy mieli x’ = y’ i x’’ = y’’. To znaczy:
x’ = 4
x’’ = -3
Zatem pary uporządkowane są rozwiązaniami układu (4, 4) i (– 3,– 3).
Czytaj więcej: Układ równań I i II stopnia
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – (ESPM -SP) Rozwiązania poniższego równania to dwie liczby
a) kuzyni.
b) pozytywne.
c) negatywny.
d) pary.
e) nieparzyste.
Rozwiązanie
Wiemy, że mianowniki ułamka nie mogą być równe zero, więc x ≠1 i x≠3. A ponieważ mamy równość ułamków, możemy mnożyć krzyżowo, otrzymując:
(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 – 2x – 1
x2 – 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) – 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 – 8x – 10 = 0
Dzieląc obie strony równania przez 2, otrzymujemy:
x2 – 4x – 5 = 0
Z formuły Bhaskary wynika, że:
Zauważ, że pierwiastki równania są liczbami nieparzystymi.
Alternatywne mi.
pytanie 2 – (UFPI) Hodowca drobiu stwierdził, że po umieszczeniu (n +2) ptaków w każdym z n dostępnych chowu, pozostanie tylko jeden ptak. Całkowita liczba ptaków, dla dowolnej wartości naturalnej n, jest zawsze
a) liczba parzysta.
b) liczba nieparzysta.
c) idealny kwadrat.
d) liczba podzielna przez 3.
e) liczba pierwsza.
Rozwiązanie
Liczbę ptaków można określić mnożąc liczbę wolier przez liczbę ptaków umieszczonych w każdej z nich. z nich, po stwierdzeniu ćwiczenia po wykonaniu tego procesu pozostał jeszcze jeden ptak, możemy to wszystko napisać w następujący sposób sposób:
n·(n+2) +1
Wykonując dystrybucyjność uzyskamy:
Nie2 + 2n +1
I rozkładając ten wielomian na czynniki, wynika, że:
(n+1)2
Zatem całkowita liczba ptaków jest zawsze idealnym kwadratem dla dowolnej liczby naturalnej n.
Alternatywa C
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm