Ustanowiliśmy zawód kiedy odniesiemy jedną lub więcej wielkości. Część zjawisk przyrodniczych można badać dzięki rozwojowi w tym obszarze matematyki. Badanie funkcji jest podzielone na dwie części, mamy część ogólną, w której badamy koncepcjegenerał, i konkretna część, w której badamy szczególne przypadki, takie jak funkcje wielomianowe i funkcje wykładnicze.
Zobacz też: Jak narysować funkcję?
Jakie są funkcje?
Funkcja to aplikacja, która dotyczy elementów dwojga zestawy nie pusty. Rozważ dwa niepuste zbiory A i B, gdzie funkcja fa odnosić się każdy element od A do tylko jeden element B.
Aby lepiej zrozumieć tę definicję, wyobraź sobie przejazd taksówką. Za każdą podróż, czyli za każdy pokonany dystans, obowiązuje inna i niepowtarzalna cena, to znaczy nie ma sensu, aby podróż miała dwie różne ceny.
Możemy reprezentować tę funkcję, która pobiera elementy ze zbioru A do zbioru B w następujący sposób.
Zauważ, że dla każdego elementu zbioru A istnieje there pojedynczy powiązany element z nim w zestawie B. Teraz możemy się przecież zastanowić, kiedy relacja między dwoma zbiorami nie będzie funkcją? Cóż, gdy element zbioru A jest powiązany z dwoma odrębnymi elementami zbioru B, lub gdy istnieją elementy zbioru A, które nie są powiązane z elementami zbioru B. Popatrz:
Ogólnie rzecz biorąc, możemy zapisać funkcję algebraicznie w ten sposób:
fa: A → B
x → y
Zauważ, że funkcja pobiera elementy ze zbioru A (reprezentowanego przez x) i przenosi je do elementów B (reprezentowanego przez y). Możemy również powiedzieć, że elementy zbioru B są podane w kategoriach elementów zbioru A, więc możemy przedstawić y przez:
y = fa(x)
To brzmi: (y równa się f od x)
Domena, współdomena i wizerunek roli
Kiedy mamy rolę fa, pokrewne zestawy otrzymują specjalne nazwy. Więc rozważ funkcję fa która przenosi elementy ze zbioru A do elementów ze zbioru B:
fa: A → B
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Zbiór A, od którego odchodzą relacje, nazywa się domena funkcji, a zbiór, który otrzymuje „strzałki” tej relacji, nazywa się przeciwdomena. Zestawy te oznaczamy następująco:
refa = A → Domena fa
Płyta CDfa = B → Przeciwdomena fa
Podzbiór przeciwdziedziny funkcji utworzonej przez elementy, które odnoszą się do elementów zbioru, nazywa się Wizerunek funkcji i jest oznaczony przez:
jestemfa → Obraz przedstawiający fa
- Przykład
Rozważ funkcję f: A → B reprezentowaną na poniższym schemacie i określ dziedzinę, przeciwdziedzinę i obraz.
Jak już powiedziano, zbiór A = {1, 2, 3, 4} jest dziedziną funkcji fa, natomiast zbiór B = {0, 2, 3, –1} jest przeciwdziedziną tej samej funkcji. Teraz zauważ, że zbiór utworzony przez elementy, które otrzymują strzałkę (w kolorze pomarańczowym) utworzony przez elementy {0, 2, -1} jest podzbiorem przeciwdomeny B, ten zbiór jest obrazem funkcji fa, a zatem:
refa = A = {1, 2, 3, 4}
Płyta CDfa = B = {0, 2, 3, -1}
jestemfa = {0, 2, –1}
Mówimy, że 0 jest obrazem elementu 1 domeny, a także 2 to obraz elementów 2 i 3 domeny i –1 jest obrazem elementu 4 domeny. Aby dowiedzieć się więcej o tych trzech pojęciach, przeczytaj: redomena, współdomena i wizerunek.
Funkcja suriektywna
Funkcja fa: A → B będzie surjektywne lub surjektywne wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór obrazów pokrywa się z przeciwdziedziną, to znaczy jeśli wszystkie elementy kontradomeny są obrazami.
Mówimy wtedy, że funkcja jest surjektywna, gdy wszystkie elementy kontrdomeny otrzymują strzałki. Jeśli chcesz zagłębić się w tego typu funkcje, odwiedź nasz tekst: Funkcja Overjet.
Funkcja iniekcyjna
Funkcja fa: A → B będzie iniektywna lub iniektywna wtedy i tylko wtedy, gdy odrębne elementy domeny mają odrębne obrazy w przeciwdomenie, to znaczy podobne obrazy są generowane przez podobne elementy domeny.
Należy zauważyć, że warunkiem jest to, że różne elementy domeny odnoszą się do różnych elementów przeciwdomeny, nie ma problemu z pozostałymi elementami w przeciwdomenie. Aby lepiej zrozumieć tę koncepcję, możesz przeczytać tekst: Funkcja wtryskiwacza.
Funkcja bijektora
Funkcja fa: A → B będzie bijektywna wtedy i tylko wtedy, gdy jest wtryskiwacz i surjektor jednocześnie, to znaczy, że odrębne elementy domeny mają odrębne obrazy, a obraz pokrywa się z przeciwdomeną.
- Przykład
W każdym przypadku uzasadnij, czy funkcja f(x) = x2 jest to wtryskiwacz, surjektor lub bijector.
) fa: ℝ+ → ℝ
Zauważ, że domeną funkcji są wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste, a przeciwdziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste. Wiemy, że funkcja f jest dana przez f (x) = x2, teraz wyobraź sobie, że wszystkie dodatnie liczby rzeczywiste są wysoki do kwadratu, wszystkie obrazy będą również pozytywne. Możemy więc wywnioskować, że funkcja jest wstrzykująca, a nie surjektywna, ponieważ ujemne liczby rzeczywiste nie otrzymają strzałek.
Jest to wstrzykiwanie, ponieważ każdy element domeny (ℝ+) dotyczy tylko jednego elementu kontrdomeny (ℝ).
B) fa: ℝ → ℝ+
Funkcja w tym przypadku ma domenę jako wszystkie liczby rzeczywiste, a przeciwdziedzinę jako liczby rzeczywiste dodatnie. Wiemy, że każda liczba rzeczywista do kwadratu jest dodatnia, więc wszystkie elementy kontrdomeny otrzymały strzałki, więc funkcja jest surjektywna. Nie będzie wstrzykiwania, ponieważ elementy domeny odnoszą się do dwóch elementów domeny licznika, na przykład:
fa(–2) = (–2)2 = 4
fa(2) = (2)2 = 4
do) fa:ℝ+ → ℝ+
W tym przykładzie funkcja ma dziedzinę i przeciwdziedzinę jako dodatnie liczby rzeczywiste, więc funkcja jest biżektor, ponieważ każda dodatnia liczba rzeczywista odnosi się do jednej prawdziwy numer dodatnią przeciwdomeny, w tym przypadku kwadrat liczby. Ponadto wszystkie numery kontrdomen otrzymały strzałki.
funkcja złożona
TEN funkcja złożona jest związany z pomysł na skrót. Rozważ trzy niepuste zbiory A, B i C. Rozważ także dwie funkcje f i g, gdzie funkcja f pobiera elementy x ze zbioru A do elementów y = f (x) ze zbioru B, a funkcja g pobiera elementy y = f (x) do elementów z ze zbioru C.
Funkcja złożona otrzymuje tę nazwę, ponieważ jest aplikacją, która pobiera elementy ze zbioru A bezpośrednio do elementów ze zbioru C, bez przechodzenia przez zbiór B, poprzez złożenie funkcji f i g. Popatrz:
Funkcja oznaczona przez (f o g) pobiera elementy ze zbioru A bezpośrednio do zbioru C. Nazywa się to funkcją złożoną.
- Przykład
Rozważ funkcję f(x) = x2 oraz funkcja g(x) = x + 1. Znajdź funkcje złożone (f o g)(x) i (g o f)(x).
Funkcja f o g jest dana przez funkcję g stosowaną do f, czyli:
(f o g)(x) = f (g(x))
Aby określić tę złożoną funkcję, musimy wziąć pod uwagę funkcję fa, a w miejsce zmiennej x musimy napisać funkcję sol. Popatrz:
x2
(x+1)2
(f o g)(x) = f (g(x)) = x2 + 2x + 1
Podobnie, aby wyznaczyć funkcję złożoną (g o f)(x), musimy zastosować funkcję fa w roli sol, to znaczy rozważ funkcję g i zapisz funkcję f w miejsce zmiennej. Popatrz:
(x + 1)
x2 + 1
Dlatego funkcja złożona (g o f)(x) = g (f (x)) = x2 + 1.
Nawet funkcja
Rozważ funkcję fa: A → ℝ, gdzie A jest podzbiorem niepustych liczb rzeczywistych. Funkcja f będzie parzysta tylko dla wszystkich rzeczywistych x.
Przykład
Rozważ funkcję fa: ℝ → ℝ, podane przez f (x) = x2.
Zauważ, że dla dowolnej rzeczywistej wartości x podniesionej do kwadratu wynik jest zawsze dodatni, to znaczy:
f(x) = x2
i
f(–x) = (–x)2 = x2
Czyli f(x) = f(–x) dla dowolnej rzeczywistej wartości x, więc funkcja fa to para.
Przeczytaj też:Właściwości mocys - czym one są i jak w posługiwać siępowietrze?
unikalna funkcja
Rozważ funkcję fa: A → ℝ, gdzie A jest podzbiorem niepustych liczb rzeczywistych. Funkcja f będzie nieparzysta tylko dla wszystkich rzeczywistych x.
- Przykład
Rozważ funkcję fa: ℝ → ℝ, podane przez f (x) = x3.
Zobacz, że dla dowolnej wartości x możemy to napisać (–x)3 = -x3. Sprawdź kilka przykładów:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
Możemy więc powiedzieć, że:
f(–x) = (–x)3 = –x3
f(–x) = (–x)3 = –f(x)
Czyli dla dowolnej rzeczywistej x f(–x) = –f (x), a więc funkcja f (x) = x3 jest unikalny.
funkcja zwiększania
Funkcja fa é rozwój w odstępach wtedy i tylko wtedy, gdy wraz ze wzrostem elementów domeny rosną również ich obrazy. Popatrz:
Zauważ, że x1 > x2 to samo dzieje się z obrazem, więc możemy ustalić warunek algebraiczny funkcji for fa być rozwój.
Funkcja malejąca
Funkcja fa é malejący w odstępach wtedy i tylko wtedy, gdy wraz ze wzrostem elementów domeny ich obrazy maleją. Popatrz:
Zobacz, że w dziedzinie funkcji mamy to x1 > x2, jednak nie występuje to w obrazie funkcji, gdzie f (x1) < f(x2). Możemy więc ustalić warunek algebraiczny dla funkcji malejących. Popatrz:
stała funkcja
Jak sama nazwa mówi, a funkcja to stały kiedy, za każdą wartość domeny, wartość obrazu jest zawsze taka sama.
powiązana funkcja
TEN funkcja afiniczna lub wielomian pierwszego stopnia ma postać:
f (x) = topór + b
Gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, a jest niezerowe, a wykres jest linią. Funkcja ma rzeczywistą domenę, a także rzeczywistą przeciwdomenę.
funkcja kwadratowa
TEN funkcja kwadratowa lub funkcja wielomianowa drugiego stopnia dana jest wzorem za wielomian klasy drugiej, a zatem:
f(x) = ax2 + bx + c
Gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi z wartościami niezerowymi, a wykres to a przypowieść. Rola ma również rzeczywistą domenę i przeciwdomenę.
funkcja modułowa
TEN funkcja modułowa z zmienna x znajduje-gdyby wewnątrz modułu a algebraicznie wyraża się przez:
f(x) = |x|
Funkcja ma również dziedzinę rzeczywistą i dziedzinę licznika, co oznacza, że możemy obliczyć wartość bezwzględną dowolnej liczby rzeczywistej.
funkcja wykładnicza
TEN funkcja wykładniczawyświetla zmienną x w wykładniku. Ma również rzeczywistą domenę i rzeczywistą przeciwdomenę i jest opisany algebraicznie przez:
f(x) = ax
Gdzie a jest liczbą rzeczywistą większą od zera.
funkcja logarytmiczna
TEN funkcja logarytmiczna zawiera zmienna w logarytmie oraz dziedzinę utworzoną przez liczby rzeczywiste większe od zera.
Funkcje trygonometryczne
W funkcje trygonometryczne mieć zmienna x obejmująca stosunki trygonometryczne, główne z nich to:
f(x) = sin(x)
f(x) = cos(x)
f(x) = tg(x)
funkcja root
Funkcja root charakteryzuje się posiadaniem zmienna wewnątrz korzenia, z tym, że jeśli indeks pierwiastka jest parzysty, dziedziną funkcji stają się tylko dodatnie liczby rzeczywiste.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
W przemyśle metalurgicznym koszt produkcji części samochodowej odpowiada stałemu miesięcznemu kosztowi 5 R$ 000,00 plus zmienny koszt 55,00 R$ za wyprodukowaną jednostkę plus 25% podatku od kosztów zmienna. Biorąc pod uwagę, że cena sprzedaży tej części przez branżę handlowcom wynosi 102,00 BRL, ustal:
a) funkcja kosztu wytworzenia x sztuk.
b) funkcja przychodu dotycząca sprzedaży x sztuk.
c) funkcja zysku ze sprzedaży x sztuk.
BMI (Body Mass Index) to matematyczna funkcja, która określa, czy osoba dorosła jest uważana za otyłą, otyłą, normalny lub z niedowagą, odnosząc masę osoby w kilogramach do kwadratu pomiaru wzrostu w metrów. Zgodnie z poniższą tabelą określ masę osoby o wzroście 1,90 metra, tak aby jego BMI było uważane za normalne.
