Zbiory liczbowe: czym są i charakterystyka

Badanie na temat zbiory liczbowe stanowi jedną z głównych dziedzin matematyki, ponieważ są one bardzo ważne dla teoretycznego rozwoju tej dziedziny i mają kilka praktycznych zastosowań. Zbiory liczbowe obejmują w nauce:

liczby naturalne;
liczby całkowite;
liczby wymierne;
liczby niewymierne;
liczby rzeczywiste; i
Liczby zespolone.

Czytaj więcej: Liczby pierwsze - liczby, które mają tylko 1 i same siebie jako dzielniki

Zbiór liczb naturalnych

Rozwój pierwszych cywilizacji przyniósł ze sobą poprawę rolnictwa i handlu, a co za tym idzie używanie liczb do reprezentowania ilości. Pierwszy zestaw przyszedł naturalnie, stąd jego nazwa. Naturalny zestaw nazwany jest używany do reprezentowania ilości, jest oznaczony przez symbol ℕ i jest napisany w postaci sekwencji. Popatrz:

O zbiór liczb naturajest é nieskończony i zamknięty dla operacji dodanie i mnożenie, czyli za każdym razem, gdy dodajemy lub mnożymy dwie liczby naturalne, odpowiedź jest nadal naturalna. Jednak dla operacji odejmowania i podziałzestaw nie jest zamknięty. Popatrz:

instagram story viewer

5 – 6 = –1

3 ÷ 2 = 0,5

Zauważ, że liczby –1 i 0,5 nie należą do zbioru naturalnych i to jest uzasadnieniem tworzenia i badania nowych zbiorów liczb.

Również umieszczając gwiazdkę (*) w symbolu zbioru naturalnego musimy usunąć z listy liczbę zero, patrz:

zestaw liczb całkowitych

Cały zestaw liczb wymyślił konieczność przeprowadzenia operacji odejmowanie bez ograniczeń. Jak widzieliśmy, odejmując mniejszą liczbę od większej, odpowiedź nie należy do grupy naturalnych.

Zbiór liczb całkowitych jest również reprezentowany przez nieskończony ciąg liczbowy i jest oznaczony przez symbol ℤ.

Podobnie jak w zbiorze liczb naturalnych, umieszczając gwiazdkę w symbolu ℤ, element zero jest usuwany ze zbioru w następujący sposób:

Symbol (–) towarzyszący liczbie wskazuje, że jest ona symetryczna, więc symetryczność liczby 4 to liczba –4. Zauważ też, że zbiór liczb naturalnych jest zawarty w zbiorze liczb całkowitych, to znaczy zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych.

ℕ ⸦ ℤ

Przeczytaj też: Operacje na liczbach całkowitych – czym są i jak je obliczyć?

zbiór liczb wymiernych

O zbiór liczb wymiernych é reprezentowana przez symbol ℚ i nie jest reprezentowana przez ciąg liczbowy. Ten zestaw składa się ze wszystkich liczb, które można przedstawić jako ułamek. Reprezentujemy jego elementy w następujący sposób:

Wiemy, że każda liczba całkowita może być reprezentowana przez a frakcja, czyli zbiór liczb całkowitych jest zawarty w zbiorze liczb wymiernych, dlatego zbiór liczb całkowitych jest podzbiorem wymiernych.

ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ

Liczby, które mają nieskończoną reprezentację, takie jak okresowe dziesięciny, mają również reprezentację w postaci ułamka, a więc są również racjonalne.

Przeczytaj też: Działania na ułamkach - jak je rozwiązywać krok po kroku

Zbiór liczb niewymiernych

Jak widzieliśmy, liczba jest wymierna, jeśli można ją zapisać jako ułamek. Mówi się również, że liczby nieskończone i okresowe są wymierne, jednak istnieją liczby, które nie można zapisać w postaci ułamka a zatem nie należą do zbioru liczb wymiernych.

Te niewymierne liczby nazywają się irracjonalny i mają jako główne cechy charakterystyczne nieskończoność części dziesiętnej i nieczęstotliwość, czyli żadna liczba w części dziesiętnej nie jest powtarzana. Zobacz kilka przykładów liczby niewymierne.

Przykład 1

Pierwiastki kwadratowe liczb, które nie są idealnymi kwadratami.

Przykład 2

Stałe pochodzące ze szczególnych powodów, takich jak liczba złota, liczba Eulera lub Pi.

Zestaw liczb rzeczywistych

O zbiór liczb rzeczywistych jest reprezentowany przez symbol ℝ i jest utworzony przez jednośćzbioru liczb wymiernych ze zbiorem liczb niewymiernych. Pamiętaj, że zbiór wymiernych jest sumą zbiorów naturalnych i całkowitych.

Kiedy ułożymy liczby rzeczywiste na linii, mamy, że liczba zero jest początkiem linii, na prawo od zera będą liczby dodatnie, a na lewo liczby ujemne.

Ponieważ ta oś jest rzeczywista, możemy powiedzieć, że między dwiema liczbami są liczby nieskończone, a także, że ta oś jest nieskończona zarówno w pozytywny kierunek kiedy w kierunek ujemny.

Zbiór liczb zespolonych

O zestaw liczb zespolonych to jest ostatni, ubiegły, zeszły powstało z tego samego powodu co zbiór liczb całkowitych, to znaczy jest operacją, której rozwój tylko na zbiorze liczb rzeczywistych nie jest możliwy.

Rozwiązując następujące równanie, zobacz, że nie ma rozwiązania, znając tylko liczby rzeczywiste.

x² + 1 = 0

x² = –1

Zauważ, że musimy znaleźć liczbę, która kiedy podwyższaćreO do kwadratu, daje liczbę ujemną. Wiemy to dowolna liczba do kwadratu jest zawsze dodatniadlatego ta kalkulacja nie ma realnego rozwiązania.

W ten sposób powstały liczby zespolone, w których mamy a liczba urojona oznaczony przez ja, który ma następującą wartość:

Uświadom sobie, że równanie że wcześniej nie było rozwiązania, teraz je ma. Sprawdzić:

Czytaj więcej: Własności obejmujące liczby zespolone

rzeczywiste interwały

W niektórych przypadkach nie użyjemy każdej osi rzeczywistej, to znaczy użyjemy jej części, które będą się nazywać przerwy. Te interwały są podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Następnie ustalimy kilka notacji dla tych podzbiorów.

Zamknięty zakres - bez uwzględniania skrajności

Interwał jest zamknięty, gdy ma swoje dwie skrajności, czyli minimum i maksimum, a w tym przypadku ekstrema nie należą do zakresu. Oznaczymy to za pomocą otwartej kuli. Popatrz:

Na czerwono są liczby należące do tego zakresu, czyli są to liczby większe niż a i mniejsze niż b. Algebraicznie zapisujemy taki przedział w następujący sposób:

< x

Gdzie liczba x to wszystkie liczby rzeczywiste, które znajdują się w tym zakresie. Możemy to również przedstawić symbolicznie. Popatrz:

]The; B[ lub (The; B)

Zamknięty zakres - w tym skrajności

Teraz użyjmy zamkniętych kul, aby to przedstawić skrajności należą do zakresu.

Więc zbieramy liczby rzeczywiste, które są pomiędzy a i b, włączając je. Algebraicznie wyrażamy taki przedział przez:

≤ xb

Używając notacji symbolicznej, mamy:

[The; B]

Zamknięty zakres - w tym jeden ze skrajności

Nadal mamy do czynienia z interwałami domkniętymi, mamy teraz przypadek, w którym uwzględniono tylko jedną ze skrajności. Dlatego jedna z kulek zamknie się, wskazując, że numer należy do zakresu, a druga nie, wskazując, że numer nie należy do tego zakresu.

Algebraicznie reprezentujemy ten zakres w następujący sposób:

≤ x

Symbolicznie mamy:

[The; B[ lub [The; B)

Otwarty zakres - bez końca w zestawie

Zakres jest otwarty, gdy nie ma elementu maksymalnego ani minimalnego. Teraz zobaczymy przypadek otwartego zakresu, który ma tylko maksymalny element, który nie jest uwzględniony w zakresie.

Zobacz, że asortyment składa się z liczby rzeczywiste mniejsze niżB, a także zauważ, że liczba b nie należąca do zakresu (otwarta kula), więc algebraicznie możemy przedstawić przedział przez:

Symbolicznie możemy to przedstawić poprzez:

] – ∞; B[ lub (– ∞; B)