Macierz odwrotna: co to jest, jak znaleźć ćwiczenia

Pojęcie odwrotna macierz zbliża się bardzo do pojęcia odwrotności liczby. Pamiętajmy, że odwrotność liczby Nie jest liczba Nie^-1, gdzie iloczyn między nimi jest równy neutralnemu elementowi mnożenie, czyli liczba 1. Już odwrotnością macierzy M jest macierz M^-1, gdzie iloczyn M · M^-1 jest równa macierzy jednostkowej I_Nie, co jest niczym innym jak neutralnym elementem mnożenia macierzy.

Aby macierz miała odwrotność, musi być kwadratowa, a dodatkowo jej wyznacznik musi być różny od zera, w przeciwnym razie odwrotności nie będzie. Aby znaleźć macierz odwrotną, użyjemy równania macierzowego.

Przeczytaj też: Macierz trójkątna — specjalny rodzaj macierzy kwadratowej

Aby macierz miała odwrotność, musi być kwadratowa.

macierz jednostkowa

Aby zrozumieć, czym jest macierz odwrotna, trzeba najpierw poznać macierz jednostkową. Znamy jako macierz jednostkową macierz kwadratową I_Nie gdzie wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe wyrazy są równe 0.

TEN macierz tożsamości jest neutralnym elementem mnożenia między macierzami.

, czyli podana a Kwatera główna M rzędu n, iloczyn między macierzą M a macierzą I_Nie jest równa macierzy M.

M · I_Nie = M

Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)

Jak obliczyć macierz odwrotną

Aby znaleźć macierz odwrotną M, konieczne jest rozwiązanie równania macierzowego:

 M · M^-1 = I_Nie

Przykład

Znajdź macierz odwrotną M.

Ponieważ nie znamy macierzy odwrotnej, przedstawmy tę macierz algebraicznie:

Wiemy, że iloczyn między tymi macierzami musi być równy I₂:

Rozwiążmy teraz równanie macierzowe:

Problem można podzielić na dwie części systemy równania. Pierwsza wykorzystuje pierwszą kolumnę macierzy M ·M^-1 i pierwsza kolumna macierzy tożsamości. Musimy więc:

Aby rozwiązać system, wyizolujmy₂₁ w równaniu II i podstawia w równaniu I.

Podstawiając do równania I, musimy:

Jak znaleźć wartość a₁₁, wtedy znajdziemy wartość a₂₁:

Znajomość wartości a₂₁ i₁₁, teraz znajdziemy wartość pozostałych terminów, konfigurując drugi system:

izolowanie₂₂ w równaniu III musimy:

3rd₁₂ + 1.₂₂ = 0

₂₂ = – 3.₁₂

Podstawiając w równaniu IV:

5th₁₂ + 2 miejsce₂₂ =1

5th₁₂ + 2·( - 3.₁₂) = 1

5th₁₂ – 6.₁₂ = 1

-₁₂ = 1 ( – 1)

₁₂ = – 1

Znajomość wartości a₁₂, znajdziemy wartość a₂₂ :

₂₂ = – 3.₁₂

₂₂ = – 3 · ( – 1)

₂₂ = 3

Teraz, gdy znamy wszystkie wyrazy macierzy M^-1, można go przedstawić:

Przeczytaj też: Dodawanie i odejmowanie macierzy

Właściwości macierzy odwrotnej

Istnieją właściwości, które wynikają ze zdefiniowania macierzy odwrotnej.

• 1. nieruchomość: odwrotność macierzy M^-1 jest równa macierzy M. Odwrotnością macierzy odwrotnej jest zawsze sama macierz, czyli (M^-1)^-1 = M, ponieważ wiemy, że M^-1 · M = I_Nie, zatem M^-1 jest odwrotnością M, a także M jest odwrotnością M^-1.
• 2. nieruchomość: odwrotnością macierzy tożsamości jest sama: I^-1 = I, ponieważ iloczyn macierzy jednostkowej sam w sobie daje macierz jednostkową, czyli I_Nie · JA_Nie = I_Nie.
• 3. nieruchomość: odwrotność iloczyn dwóch macierzyjesteś jest równy iloczynowi odwrotności:

(M×W)^-1 = M^-1 · A^-1.

• 4. nieruchomość: macierz kwadratowa ma odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik różni się od 0, czyli det(M) ≠ 0.

rozwiązane ćwiczenia

1) Mając macierz A i macierz B, wiedząc, że są one odwrotnościami, wartość x+y wynosi:

a) 2.

b) 1.

c) 0.

d) -1.

e) -2.

Rozkład:

Alternatywa re.

Budowanie równania:

A · B = I 

Przy drugiej kolumnie, wyrównującej terminy, musimy:

3x + 5y = 0 → (I)

2x + 4 lata = 1 → (II)

Izolowanie x na I:

Wymiana w równanie II, musimy:

Znając wartość y, znajdziemy wartość x:

Teraz obliczmy x + y:

pytanie 2

Macierz ma odwrotność tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od 0. Patrząc na poniższą macierz, jakie są wartości x, które powodują, że macierz nie obsługuje odwrotności?

a) 0 i 1.

b) 1 i 2.

c) 2 i – 1.

d) 3 i 0.

e) – 3 i – 2.

Rozkład:

Alternatywa b.

Obliczając wyznacznik A, chcemy wartości gdzie det(A) = 0.

det (A) = x ·(x – 3) – 1 · ( – 2)

det (A) = x² - 3x + 2

det (A) = x² - 3x + 2 = 0

rozwiązywanie Równanie drugiego stopnia, Musimy:

• a = 1
• b = – 3
• c = 2

Δ = b² - 4ac

Δ = (– 3) ² – 4·1·2

Δ= 9 – 8

Δ = 1

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:

OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. „Macierz odwrotna”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-inversa.htm. Dostęp 28 czerwca 2021 r.

Rodzaje matryc

Macierz, Rodzaj macierzy, Kolejność macierzy, Macierz wierszowa, macierz kolumnowa, Macierz zerowa, Macierz kwadrat, macierz przekątna, macierz tożsamości, macierz przeciwna, macierz, macierz równa, równość macierze.