Jedna z technik używanych do rozwiązywania równania kwadratowe to metoda znana jako pełne kwadraty. Ta metoda polega na interpretacji równanie z drugastopień jak idealny trójmian kwadratowy i napisz swój czynnikowy formularz. Czasami ta prosta procedura już ujawnia korzenie równania.
Dlatego konieczna jest podstawowa wiedza na temat godne uwagi produkty, trójmiankwadratIdealny i faktoryzacja wielomianowa korzystać z tej techniki. Często jednak pozwala na wykonanie obliczeń „w głowie”.
Dlatego przypomnimy sobie trzy przypadki: produktyznakomity przed zademonstrowaniem metodaukończyćkwadraty, które z kolei zostaną ujawnione w trzech różnych przypadkach.
Znakomite produkty i doskonałe trójmiany kwadratowe
Następnie zobacz niezwykły produkt, the trójmiankwadratIdealny co jest równoważne z nim i kształtem czynnik czynnikowy odpowiednio tego trójmianu. Aby to zrobić, weź pod uwagę, że x jest nieznane i jest dowolną liczbą rzeczywistą.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k)(x + k)
(x-k)2 = x2 – 2kx + k2 = (x - k) (x - k)
Równanie drugiego stopnia odnoszące się do trzeciego produktznakomity, znany jako iloczyn sumy i różnicy, można rozwiązać za pomocą techniki, która jeszcze bardziej ułatwia obliczenia. W rezultacie nie będzie tutaj brane pod uwagę.
Równanie jest idealnym trójmianem kwadratowym
Gdyby jeden równanie z drugastopień jest idealnym trójmianem kwadratowym, to możesz określić jego współczynniki jako: a = 1, b = 2k lub – 2 tys i c = k2. Aby to sprawdzić, po prostu porównaj równanie kwadratowe z a trójmiankwadratIdealny.
Dlatego w rozwiązaniu równanie z drugastopień x2 + 2kx + k2 = 0, zawsze będziemy mieli możliwość:
x2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
√[(x + k)2] = √0
|x + k| = 0
x + k = 0
x = - k
– x – k = 0
x = - k
Zatem rozwiązanie jest unikalne i równe –k.
Gdyby równanie być x2 – 2kx + k2 = 0, możemy zrobić to samo:
x2 – 2kx + k2 = 0
(x-k)2 = 0
√[(x - k)2] = √0
|x – k| = 0
x - k = 0
x = k
– x + k = 0
– x = – k
x = k
Dlatego rozwiązanie jest unikalne i równe k.
Przykład: Jakie są korzenie równanie x2 + 16x + 64 = 0?
Zauważ, że równanie to a trójmiankwadratIdealny, ponieważ 2k = 16, gdzie k = 8, a k2 = 64, gdzie k = 8. Możemy więc napisać:
x2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
√[(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = – 8
Tutaj wynik został uproszczony, ponieważ już wiemy, że oba rozwiązania będą równe tej samej liczbie rzeczywistej.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Równanie nie jest idealnym trójmianem kwadratowym
W przypadkach, gdy równanie z drugastopień nie jest idealnym trójmianem kwadratowym, możemy rozważyć następującą hipotezę, aby obliczyć jej wyniki:
x2 + 2kx + C = 0
Zauważ, że aby to równanie zamieniło się w a trójmiankwadratIdealny, po prostu zamień wartość C na wartość k2. Ponieważ jest to równanie, jedynym sposobem na to jest dodanie k2 na obu prętach, a następnie zamieniając współczynnik pręta C. Zegarek:
x2 + 2kx + C = 0
x2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
x2 + 2kx + k2 = k2 -
Po tej procedurze możemy przystąpić do poprzedniej techniki, przekształcając trójmiankwadratIdealny w niezwykły produkt i obliczanie pierwiastków kwadratowych na obu kończynach.
x2 + 2kx + k2 = k2 -
(x + k)2 = k2 -
√[(x + k)2] = √(k2 - )
x + k = ± √(k2 - )
Znak ± pojawia się, gdy wynik a równanie jest pierwiastkiem kwadratowym, ponieważ w tych przypadkach wynik pierwiastka kwadratowego to a moduł, jak pokazano w pierwszym przykładzie. Na koniec pozostało tylko:
x = – k ± √(k2 - )
Więc te równania mieć dwa wyniki real i wyraźny lub brak rzeczywistego wyniku, gdy C > k2.
Na przykład, oblicz pierwiastki x2 + 6x + 8 = 0.
Rozwiązanie: Zauważ, że 6 = 2,3x. Stąd k = 3, a zatem k2 = 9. Dlatego liczba, którą musimy dodać w obu członkach, jest równa 9:
x2 + 6x + 8 = 0
x2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
x2 + 6x + 9 = 9 - 8
x2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
√[(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x’ = 1 – 3 = – 2
x’’ = – 1 – 3 = – 4
W takim przypadku współczynnik a ≠ 1
kiedy współczynnik , daje równanie z drugastopień, różni się od 1, wystarczy podzielić całe równanie przez wartość liczbową współczynnika aby następnie zastosować jedną z dwóch poprzednich metod.
Tak więc w równaniu 2x2 + 32x + 128 = 0, mamy unikalny pierwiastek równy 8, ponieważ:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
x2 + 16x + 64 = 0
A w równaniu 3x2 + 18x + 24 = 0, mamy pierwiastki – 2 i – 4, ponieważ:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
x2 + 6x + 8 = 0
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
