TEN równanie modułowe to a równanie że w pierwszym lub drugim członku ma terminy w module. Moduł, znany również jako wartość bezwzględna, jest powiązany z odległością, jaką liczba ma do zera. Ponieważ mówimy o odległości, moduł liczby jest zawsze dodatni. Rozwiązywanie problemów z równaniami modularnymi wymaga zastosowania definicji modułu, zwykle dzielimy równanie na dwa możliwe przypadki:
kiedy zawartość modułu jest dodatnia i is
kiedy zawartość modułu jest ujemna.
Przeczytaj też: Jaka jest różnica między funkcją a równaniem?
jeden moduł liczb rzeczywistych
Aby móc rozwiązywać problemy z równaniami modularnymi, konieczne jest zapamiętanie definicji modulo. Moduł jest zawsze taki sam jak odległość, jaką liczba ma do zera, i reprezentować moduł liczby Nie, używamy prostej kreski w następujący sposób: |Nie|. Aby obliczyć |Nie|, podzieliliśmy się na dwa przypadki:
Dlatego możemy powiedzieć, że |Nie| jest taki sam jak własny Nie gdy jest liczbą dodatnią lub równą zero, a w drugim przypadku |
Nie| jest równe przeciwieństwu Nie jeśli jest ujemna. Pamiętaj, że przeciwieństwo liczby ujemnej jest zawsze dodatnie, więc |Nie| zawsze ma wynik równy liczbie dodatniej.Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Przykłady:
a) |2| = 2
b) |-1| = -(-1) = 1
Zobacz też: Jak rozwiązać równanie logarytmiczne?
Jak rozwiązać równanie modularne?
Aby znaleźć rozwiązanie równania modularnego, należy przeanalizować każdą z możliwości, czyli podzielić, zawsze w dwóch przypadkach, każdy z modułów. Oprócz znajomości definicji modułu, do rozwiązywania równań modularnych, ważne jest, aby wiedzieć, jak rozwiązać równania wielomianowe.
Przykład 1:
|x – 3| = 5
Aby znaleźć rozwiązanie tego równania, należy pamiętać, że istnieją dwa możliwe wyniki, które sprawiają, że |Nie| = 5, to oni, Nie = -5, ponieważ |-5| = 5, a także Nie = 5, ponieważ |5| = 5. Korzystając z tego samego pomysłu, musimy:
I → x – 3 = 5 lub
II → x – 3 = -5
Rozwiązując jedno z równań osobno:
Rozdzielczość I:
x – 3 = 5
x = 5 + 3
x = 8
Rezolucja II:
x – 3 = -5
x = -5 + 3
x = -2
Są więc dwa rozwiązania: S = {-2, 8}.
Zauważ, że jeśli x = 8, równanie jest prawdziwe, ponieważ:
|x – 3| = 5
|8 – 3| = 5
|5| = 5
Zauważ również, że jeśli x = -2, równanie jest również prawdziwe:
|-2 – 3| = 5
|-5| = 5
Przykład 2:
|2x + 3| = 5
Podobnie jak w przykładzie 1, aby znaleźć rozwiązanie, należy podzielić je na dwa przypadki, zgodnie z definicją modułu.
ja → 2x + 3 = 5
II → 2x + 3 = -5
Rozdzielczość I:
2x + 3 = 5
2x = 5 - 3
2x = 2
x = 2/2
x = 1
Rezolucja II:
2x + 3 = -5
2x = -5 - 3
2x = -8
x = -8/2
x = -4
A później zestaw rozwiązań to: S = {1, -4}.
Przykład 3:
|x + 3| = |2x – 1|
Gdy mamy równość dwóch modułów, musimy podzielić ją na dwa przypadki:
1. przypadek, pierwszy i drugi członek tego samego znaku.
Drugi przypadek, pierwszy i drugi członek przeciwnych znaków.
Rozdzielczość I:
Sprawimy, że obie strony będą większe od zera, to znaczy po prostu usuniemy moduł. Możemy też zrobić z obydwoma negatywami, ale wynik będzie taki sam.
X + 3 ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
2x – 1 ≥ 0 → |2x – 1| = 2x - 1
x + 3 = 2x - 1
x – 2x = -1 – 3
x = -4 (-1)
x = 4
Rezolucja II:
Boki przeciwnych znaków. Wybierzemy jedną stronę jako pozytywną, a drugą jako negatywną.
Wybór:
|x + 3| ≥ 0 → |x + 3| = x + 3
|2x – 1| < 0 → |2x –1| = – (2x – 1)
Musimy więc:
x + 3 = – (2x – 1)
x + 3 = – 2x + 1
x + 2x = - 3 + 1
3x = -2
x = -2/3
Tak więc zbiór rozwiązań to: S = {4, -2/3}.
Również dostęp: Czym są irracjonalne równania?
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - (UFJF) Liczba ujemnych rozwiązań równania modularnego |5x – 6| = x² to:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E 4
Rozkład
Alternatywne E
Chcemy rozwiązać równanie modułowe:
|5x – 6| = x²
Podzielmy to więc na dwa przypadki:
Rozdzielczość I:
5x – 6 > 0 → |5x – 6| = 5x - 6
Musimy więc:
5x - 6 = x²
-x² + 5x – 6 = 0
Pamiętajmy, że wartość delta mówi nam, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe:
a = -1
b = 5
c = -6
Δ = b² - 4ac
Δ = 5² – 4 · (-1) · (-6)
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Ponieważ 1 jest dodatnie, to w tym przypadku istnieją dwa rzeczywiste rozwiązania.
Rezolucja II:
|5x – 6| < 0 → |5x – 6| = – (5x – 6)
– (5x – 6) = x²
– 5x + 6 = x²
– x² – 5x + 6 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = (-5)² – 4 · (-1) · (+6)
Δ = 25 + 24
Δ = 49
Ponieważ Δ również w tym przypadku jest dodatnie, to istnieją dwa rzeczywiste rozwiązania, więc suma rzeczywistych rozwiązań wynosi 4.
Pytanie 2 - (PUC SP) Zbiór rozwiązań S równania |2x – 1| = x - 1 to:
A) S = {0, 2/3}
B) S = {0, 1/3}
C) S =
D) S = {0, -1}
E) S = {0, 4/3}
Rozkład
Alternatywa A
Rozdzielczość I:
|2x – 1| = 2x - 1
Musimy więc:
2x - 1 = x - 1
2x - x = - 1 + 1
x = 0
Rezolucja II:
|2x – 1| = – (2x – 1)
– (2x – 1) = x – 1
-2x + 1 = x - 1
-2x - x = -1 - 1
-3x = -2 (-1)
3x = 2
x = 2/3
