O objętość piramidy oblicza się, mnożąc powierzchnię bazową i wysokość, dzieląc przez trzy. Aby obliczyć objętość piramidy, trzeba wiedzieć, który wielokąt stanowi jej podstawę piramida, dlatego, dla do każdej bazy używamy innej formuły znaleźć Twój powierzchnia. Objętość pryzmatu możemy powiązać z objętością ostrosłupa o tej samej wysokości i powierzchni co podstawa, ponieważ objętość ostrosłupa jest równa jednej trzeciej objętości pryzmatu.
Przeczytaj też: Czym są kształty geometryczne?
Jak obliczana jest objętość piramidy?
Objętość piramidy można obliczyć za pomocą wzoru, który bezpośrednio zależy od wielokąt który stanowi podstawę. Aby obliczyć objętość dowolnej piramidy, posługujemy się następującym wzorem:
V → objętość
TENb → obszar u podstawy piramidy
H → wysokość piramidy
Podstawą piramidy może być dowolny wielokąt., czyli możemy mieć ostrosłup o podstawie trójkątnej, ostrosłup o podstawie kwadratowej i ostrosłup o podstawie sześciokątnej. Zresztą, podstawą piramidy może być dowolny wielokąt, a ponieważ jest to wielokąt, aby obliczyć powierzchnię jego podstawy, istnieje specyficzna formuła.
Przeczytaj też: Czym są ciała stałe Platona?
kwadratowa piramida podstawowa
W piramidzie opartej na kwadracie wiemy, że powierzchnia kwadrat oblicza się na podstawie długości kwadratu, czyli A = tam². Tak więc, aby obliczyć objętość ostrosłupa kwadratowego, obliczamy iloczyn kwadratu krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa i dzielimy przez trzy. Zobacz przykład poniżej.
Przykład:
Oblicz objętość piramidy poniżej, wiedząc, że jej podstawę tworzy kwadrat:
W piramidzie wysokość h wynosi 6 cm, a krawędź podstawy 3 cm.
Następnie, najpierw obliczymy powierzchnię podstawy Ab. Powierzchnia kwadratu jest równa tam², więc musimy:
TENb = tam²
TENb = 3²
TENb = 9 cm²
Teraz, gdy znamy wartość powierzchni bazowej, wystarczy zastąpić pomiar wysokości i pomiar powierzchni bazowej we wzorze objętości piramidy:
Piramida z trójkątną podstawą
Gdy podstawa piramidy jest trójkątna, do obliczenia powierzchni podstawy posługujemy się wzorem obszar trójkąta, który jest równy iloczynowi podstawy i wysokości podzielonej przez dwa.
Przykład:
Wiedząc, że poniższa piramida ma 9 cm wysokości, oblicz jej objętość:
Ponieważ podstawa jest trójkąt, najpierw obliczymy powierzchnię podstawy, która jest długością podstawy razy długość wysokości trójkąta tworzącego podstawę, dzieląc przez dwa.
Teraz, gdy znamy wartość pola bazowego, możliwe staje się obliczenie objętości tej piramidy:
Przykład 2:
Kiedy podstawa piramidy jest trójkąt równoboczny, możemy użyć wzoru na pole trójkąta równobocznego do obliczenia pola podstawy.
Obliczymy objętość piramidy, której podstawą jest trójkąt równoboczny o bokach 8 cm i wysokości 15 cm.
Najpierw obliczamy pole podstawy, ponieważ jest to trójkąt równoboczny, użyjemy wzoru na pole trójkąta równobocznego.
Teraz obliczmy objętość:
Zobacz też: Różnice między figurami płaskimi a przestrzennymi
Sześciokątna piramida podstawowa
W sześciokątnej piramidzie bazowej, aby obliczyć powierzchnię bazową, używamy wzoru na powierzchnię sześciokątną.
Przykład:
Oblicz objętość piramidy, wiedząc, że jej podstawą jest sześciokąt foremny:
Najpierw obliczymy powierzchnię sześciokąta:
Teraz obliczmy objętość:
Zależność między objętością piramidy a objętością pryzmatu
dany jeden pryzmat i piramidy o tej samej podstawie, wiemy, że objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości, a objętość ostrosłupa jest iloczynem pola podstawy i wysokości podzielonej przez trzy, więc jeśli powierzchnia podstawy jest taka sama, objętość piramidy To będzie równa 1/3 objętości pryzmatu.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Poszukując innowacji w projektowaniu opakowań, przemysł kosmetyczny zdecydował się wyprodukować opakowanie w kształcie piramidy o kwadratowej podstawie dla swojego nowego kremu nawilżającego. Podstawa tej piramidy ma kształt kwadratu o bokach 6 cm. Wiedząc, że ten balsam musi zawierać 200 ml, wysokość piramidy musi wynosić około:
A) 15,2 cm
B) 15,8 cm
C) 16,4 cm
D) 16,7 cm
E) 17,2 cm
Rozkład
Alternatywa D
Wiemy, że 200 ml to 200 cm³, więc mamy V = 200. Zatem obliczając powierzchnię bazową, którą jest kwadrat, musimy:
TENb = l²
TENb = 6²
TENb = 36 cm²
Teraz zróbmy objętość równą 200 cm³, więc musimy:
Pytanie 2 - (Enem) Fabryka produkuje zwykłe świece parafinowe w kształcie czworokątnej piramidy o wysokości 19 cm i krawędzi podstawy 6 cm. Świece te składają się z 4 bloków o tej samej wysokości — 3 pni ostrosłupowych o równoległych podstawach i 1 ostrosłupu u góry — rozmieszczonych w odstępach 1 cm, będących że górna podstawa każdego bloku jest równa dolnej podstawie nałożonego bloku, przy czym żelazny pręt przechodzi przez środek każdego bloku, łącząc je, jak pokazano na rysunku.
Jeśli właściciel fabryki zdecyduje się urozmaicić model, zdejmując piramidę u góry, która ma 1,5 cm krawędź u podstawy, ale zachowując tę samą formę, ile wyda na parafinę do produkcji a manufacture świeca?
A) 156 cm³
B) 189 cm³
C) 192 cm³
D) 216 cm³
E) 540 cm³
Rozkład
Alternatywa B
Obliczmy różnicę między większą piramidą (V) a mniejszą piramidą (V2).
Wiemy, że między blokami jest odległość 1 cm, więc wysokość największej piramidy to 19 – 3 = 16 cm. Większa piramida znajduje się 6 cm od podstawy, ponieważ podstawa jest kwadratem, więc Ab = l² = 6² = 36.
Zatem objętość większej piramidy wynosi:
Aby znaleźć wysokość najmniejszej piramidy, podzielmy całkowitą wysokość przez 4, czyli 16: 4 = 4 cm. Robiąc to samo z krawędzią, otrzymujemy 6:4 = 1,5.
Zatem powierzchnia podstawy mniejszej piramidy wynosi 1,5² = 2,25. Obliczając objętość, musimy:
Teraz znajdujemy różnicę między tomami:
192 - 3 = 189 cm³
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-piramide.htm