Jeden równanie wielomianowe charakteryzuje się posiadaniem wielomian równy zero. Można go scharakteryzować stopniem wielomianu, a im większy ten stopień, tym większy stopień trudności w znalezieniu jego rozwiązania lub pierwiastka.
W tym kontekście ważne jest również zrozumienie, czym jest podstawowe twierdzenie algebry, które mówi, że każde równanie wielomianowe ma co najmniej jedno rozwiązanie złożone, innymi słowy: równanie pierwszego stopnia będzie miało co najmniej jedno rozwiązanie, równanie drugiego stopnia będzie miało co najmniej dwa rozwiązania i tak dalej.
Przeczytaj też: Jakie są klasy wielomianów?
Co to jest równanie wielomianowe
Równanie wielomianowe charakteryzuje się wielomianem równym zero, a zatem każde wyrażenie typu P(x) = 0 jest równaniem wielomianowym, gdzie P(x) jest wielomianem. Zobacz poniżej ogólny przypadek równania wielomianowego i kilka przykładów.
Weź pod uwagęNie, an -1, a n -2, …,1, a0 i x liczby rzeczywiste, a n jest liczbą całkowitą dodatnią, następujące wyrażenie jest równaniem wielomianowym stopnia n.
- Przykład
Poniższe równania są wielomianami.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x - 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Podobnie jak wielomiany, równania wielomianowe mają swój stopień. Aby określić stopień równania wielomianowego, po prostu znajdź najwyższą potęgę, której współczynnik jest różny od zera. Dlatego równania z poprzednich punktów to odpowiednio:
a) Równanie pochodzi z czwarty stopień:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Równanie pochodzi z Liceum:5x2 – 3 = 0.
c) Równanie pochodzi z pierwszy stopień:6x – 1 = 0.
d) Równanie pochodzi z trzeci stopień: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Jak rozwiązać równanie wielomianowe?
Sposób rozwiązania równania wielomianowego zależy od jego stopnia. Im większy stopień równania, tym trudniej je rozwiązać. W tym artykule pokażemy metodę rozwiązywania równań wielomianowych I stopnia, II stopnia i biskwadrat.
Równanie wielomianowe pierwszego stopnia
Równanie wielomianowe pierwszego stopnia jest opisane przez a wielomian stopnia 1. Więc ogólnie możemy zapisać równanie pierwszego stopnia w następujący sposób.
Rozważ dwie liczby rzeczywiste i b z ≠ 0, następujące wyrażenie jest równaniem wielomianowym pierwszego stopnia:
topór + b = 0
Aby rozwiązać to równanie, musimy użyć zasada równoważności, to znaczy wszystko, co działa po jednej stronie równości, musi być również obsługiwane po drugiej stronie. Aby wyznaczyć rozwiązanie równania pierwszego stopnia, musimy: izolować nieznane. W tym celu pierwszym krokiem jest wyeliminowanie b po lewej stronie równości, a następnie odejmowaćwiosła b po obu stronach równości.
topór + b - B = 0 - B
topór = - b
Zauważ, że wartość nieznanego x nie jest izolowana, współczynnik a należy wyeliminować z lewej strony równości, a do tego podzielmy obie strony przez .
- Przykład
Rozwiąż równanie 5x + 25 = 0.
Aby rozwiązać problem, musimy zastosować zasadę równoważności. W celu ułatwienia procesu pominiemy pisanie operacji po lewej stronie równości, będąc równoważne wówczas powiedzeniu, że zamierzamy „przekazać” liczbę na drugą stronę, zmieniając znak (operacja odwrotna).
Dowiedz się więcej o rozwiązywaniu tego typu równania, przechodząc do naszego tekstu: Równanie pierwszego stopnia z niewiadomą.
Równanie wielomianowe drugiego stopnia
Równanie wielomianowe drugiego stopnia ma charakterystykę a wielomian drugiego stopnia. Rozważmy więc liczby rzeczywiste a, b i c z ≠ 0. Równanie drugiego stopnia jest podane przez:
topór2 + bx + c = 0
Twoje rozwiązanie można określić za pomocą metody bhaskara lub przez faktoring. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o równaniach tego typu, przeczytaj: Równadziałanie sdruga solRau.
→ Metoda Bhaskary
Używając metody Bhaskary, jej korzenie podaje następujący wzór:
- Przykład
Wyznacz rozwiązanie równania x2 – 3x + 2 = 0.
Zauważ, że współczynniki równania wynoszą odpowiednio a = 1, b = – 3 i c = 2. Zastępując te wartości we wzorze, musimy:
→ Faktoryzacja
Zauważ, że możliwe jest rozłożenie wyrażenia x. na czynniki2 – 3x + 2 = 0 wykorzystując ideę faktoryzacja wielomianowa.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Zauważ teraz, że mamy iloczyn równy zero, a iloczyn równy zeru tylko wtedy, gdy jeden z czynników jest równy zeru, więc musimy:
x – 2 = 0
x = 2
lub
x-1 = 0
x = 1
Zobacz, że znaleźliśmy rozwiązanie równania za pomocą dwóch różnych metod.
równanie dwukwadratowe
TEN równanie biskwadratowe to jest szczególny przypadek równania wielomianowego czwartego stopnia, normalnie równanie czwartego stopnia byłoby zapisane w postaci:
topór4 + bx3 + pudełko2 + dx + e = 0
gdzie liczby a B C D i i są prawdziwe z ≠ 0. Równanie czwartego stopnia jest uważane za biskwadratowe, gdy współczynniki b = d = 0, to znaczy równanie ma postać:
topór4 + pudełko2 + i = 0
Zobacz w poniższym przykładzie, jak rozwiązać to równanie.
- Przykład
Rozwiąż równanie x4 – 10x2 + 9 = 0.
Aby rozwiązać równanie, użyjemy następującej nieznanej zmiany, a ilekroć równanie jest biskwadratowe, dokonamy tej zmiany.
x2 =p
Z równania dwukwadratowego zwróć uwagę, że x4 = (x2)2 dlatego musimy:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
P2 – 10p + 9 = 0
Zobacz, że mamy teraz równanie wielomianowe drugiego stopnia i możemy użyć metody Bhaskary, takiej jak ta:
Musimy jednak pamiętać, że na początku ćwiczenia została dokonana nieznana zmiana, więc musimy zastosować wartość znalezioną w podstawieniu.
x2 =p
Dla p = 9 musimy:
x2 = 9
x’ = 3
lub
x’’ = – 3
Dla p = 1
x2 = 1
x’ = 1
lub
x’’ = – 1
Dlatego zbiór rozwiązań równania biskwadratowego to:
S = {3, –3, 1, –1}
Przeczytaj też: Praktyczne urządzenie Briota-Ruffiniego – podział wielomianów
Podstawowe Twierdzenie Algebry (TFA)
Podstawowe twierdzenie algebry (TFA), udowodnione przez Gaussa w 1799 r., stwierdza, że każde poniższe równanie wielomianowe ma co najmniej jeden złożony pierwiastek.
Pierwiastek równania wielomianowego jest jego rozwiązaniem, to znaczy, że nieznana wartość sprawia, że równość jest prawdziwa. Na przykład równanie pierwszego stopnia ma już określony pierwiastek, podobnie jak równanie drugiego stopnia, które ma co najmniej dwa pierwiastki, oraz biskwadrat, który ma co najmniej cztery pierwiastki.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Określ wartość x, która sprawia, że równość jest prawdziwa.
2x - 8 = 3x + 7
Rozkład
Zauważ, że aby rozwiązać równanie, konieczne jest jego uporządkowanie, czyli pozostawienie wszystkich niewiadomych po lewej stronie równości.
2x - 8 = 3x + 7
2x - 3x = 7 + 8
– x = 15
Zgodnie z zasadą równoważności możemy pomnożyć obie strony równości przez tę samą liczbę, a ponieważ chcemy znaleźć wartość x, pomnożymy obie strony przez –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
pytanie 2 – Marcos ma 20 BRL więcej niż João. Razem udaje im się kupić dwie pary tenisówek, kosztując 80 BRL za parę i bez żadnych pieniędzy. Ile reali ma John?
Rozkład
Weź pod uwagę, że Marek ma x reali, tak jak Jan ma o 20 reali więcej, więc ma x + 20.
Znaki → x wartości rzeczywistych
João → (x + 20) reali
jak oni kupili? dwie pary trampek które kosztują 80 reali każdy, więc jeśli połączymy części każdego z nich, będziemy musieli:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Dlatego Mark miał 70 reali, a João 90 reali.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
