TEN ciąg liczb, jak sama nazwa wskazuje, jest ciągiem liczb i zwykle ma prawo nawrotów, które pozwala przewidzieć, jakie będą następne terminy poznanie swoich poprzedników. Możemy składać ciągi liczbowe o różnych kryteriach, np. ciąg liczb parzystych lub ciąg liczb podzielna przez 4, ciąg liczb pierwszych, ciąg idealnych kwadratów, w końcu istnieje kilka możliwości ciągów liczbowy.
Kiedy uszeregujemy sekwencję pod względem liczby terminów, sekwencja może być skończona lub nieskończona. Kiedy klasyfikujemy ciąg ze względu na zachowanie terminów, ciąg ten może być: rosnąco, malejąco, oscylujący lub stały. Istnieją szczególne przypadki ciągów, które są znane jako postępy arytmetyczne i postępy geometryczne.
Przeczytaj też: Jak obliczyć soma warunków a postęp arytmetyczny?
Podsumowanie sekwencji numerów
Sekwencja liczbowa to nic innego jak ciąg liczb.
-
Kilka przykładów sekwencji liczbowych:
ciąg liczb parzystych (0,2,4,6,8…);
sekwencja liczb naturalnych mniejsza niż 6 (1, 2, 3, 4, 5);
ciąg liczb pierwszych (2,3,5,7,11,…).
Regułą rządzącą tą sekwencją jest prawo powstawania progresji.
-
Sekwencja może być skończona lub nieskończona.
Skończone: gdy masz ograniczoną liczbę warunków.
Nieskończony: gdy masz nieograniczoną liczbę warunków.
-
Sekwencja może być rosnąca, niedowierzająca, stała lub zmienna.
Półksiężyc: kiedy termin jest zawsze mniejszy niż jego następca.
Malejąco: kiedy termin jest zawsze większy niż jego następca.
Stała: kiedy termin jest zawsze równy swojemu następcy.
Oscylacyjny: gdy istnieją wyrazy większe i mniejsze niż jego następca.
Istnieją szczególne przypadki ciągu znane jako postęp arytmetyczny lub postęp geometryczny.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Prawo występowania ciągu liczb
Znamy jako ciąg liczbowy dowolna sekwencja utworzona przez liczby. Zazwyczaj przedstawiamy sekwencje, wymieniając ich terminy, ujęte w nawiasy i oddzielone przecinkiem. Ta lista jest znana jako prawo występowania sekwencji liczb.
(The1, a2, a3, …, aNie)
1 → I człon ciągu
2 → II człon ciągu
3 → III człon ciągu
Nie → n-ty wyraz ciągu
Spójrzmy na kilka przykładów poniżej.
Przykład 1:
Prawo występowania ciągu liczb wielokrotności z 5:
(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)
Przykład 2:
Prawo występowania ciągu liczby pierwsze:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )
Przykład 3:
Prawo występowania cały negatywny:
( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)
Przykład 4:
Ciąg liczb nieparzystych mniejszych niż 10:
(1, 3, 5, 7, 9)
Przeczytaj też: Jakie są właściwości liczb nieparzystych i parzystych?
Klasyfikacja sekwencji numerycznych
Istnieją dwa różne sposoby klasyfikacji ciągu. Pierwszy to co do ilości terminów, sposób, w jaki ciąg może być skończony lub nieskończony. Innym sposobem klasyfikacji sekwencji jest: co do ich zachowania. W tym przypadku klasyfikuje się je jako rosnące, malejące, stałe lub zmienne.
Klasyfikacja według ilości warunków
→ ciąg liczb skończonych
Sekwencja jest skończona, gdy ma ograniczoną liczbę warunków.
Przykłady:
(1, 2, 3, 4, 5)
(– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)
→ nieskończona sekwencja liczb
Sekwencja jest nieskończona, gdy zawiera nieograniczoną liczbę wyrazów.
Przykłady:
(10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )
(– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )
Ocena zachowania
→ Rosnąca sekwencja liczb
Sekwencja rośnie kiedy dowolny termin jest zawsze mniejszy niż jego następca kolejno.
Przykłady:
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )
( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)
→ Malejąca sekwencja liczb
Sekwencja opada kiedy dowolny termin jest zawsze większy niż jego następca kolejno.
Przykłady:
(10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )
(4, – 8, – 16, – 32, – 64 )
→ stała sekwencja liczb
Sekwencja jest stała, gdy wszystkie terminy w sekwencji są takie same:
Przykłady:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)
( – 4, – 4, – 4, – 4 … )
→ Oscylująca sekwencja liczb
Sekwencja się kołysze kiedy istnieją terminy większe i terminy mniejsze że ich odpowiedni następcy w kolejności:
Przykłady:
(1,-2,4,-8,16,-32,64...)
(1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)
Prawo tworzenia sekwencji liczb
Niektóre sekwencje można opisać przez a formuła, która generuje Twoje warunki. Ta formuła jest znana jako prawo formacji. Używamy prawa formacji, aby znaleźć dowolny termin w sekwencji, gdy znamy jego zachowanie.
Przykład 1:
Następująca sekwencja jest tworzona przez idealne kwadraty:
(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )
Możemy opisać tę sekwencję za pomocą prawa formacji:
Nie = (n – 1)²
n → termin numer
Nie → termin pozycji Nie
Dzięki tej formule można poznać na przykład termin, który zajmuje pozycję numer 10 w sekwencji:
10 = ( 10 – 1) ²
10 = 9²
10 = 81
Przykład 2:
Wymień terminy ciągu, którego prawem tworzenia jestNie = 2n – 5.
Aby wymienić, znajdziemy pierwsze terminy w sekwencji:
I kadencja:
Nie = 2n - 5
1 = 2·1 – 5
1 = 2 – 5
1 = – 3
II kadencja:
Nie = 2n - 5
2 = 2·2 – 5
2 = 4 – 5
2 = – 1
III kadencja:
Nie = 2n - 5
3 = 2·3 – 5
3 = 6 – 5
3 = 1
IV kadencja:
Nie = 2n - 5
4 = 2·4 – 5
4 = 8 – 5
4 = 3
V kadencja:
5 = 2n - 5
5 = 2·5 – 5
5 = 10 – 5
5 = 5
Tak więc sekwencja to:
(– 1, 1, 3, 5 … )
Zobacz też: Liczby rzymskie — system numeryczny wykorzystujący litery do reprezentowania wartości i ilości
Postęp arytmetyczny i postęp geometryczny
Oni istnieją szczególne przypadki sekwencji które są znane jako postęp arytmetyczny i postęp geometryczny. Sekwencja jest progresją, gdy istnieje powód do określenia jej następcy.
postęp arytmetyczny
Kiedy znamy pierwszy wyraz w ciągu i, aby znaleźć drugi,dodajemy pierwszy do wartości r aby znaleźć trzeci wyraz, do tej samej wartości dodajemy drugi. ri tak dalej, ciąg jest klasyfikowany jako postęp arytmetyczny.
Przykład:
(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)
Jest to ciąg arytmetyczny współczynnika równego 4 i pierwszego wyrazu równego 1.
Zauważ, że aby znaleźć następcę liczby w ciągu, po prostu dodaj 4, więc mówimy, że 4 jest powodem tego postępu arytmetycznego.
Postęp geometryczny
W postęp geometryczny, jest też powód, ale w tym przypadku aby znaleźć następcę terminu, musimy go pomnożyć przez współczynnik.
Przykład:
(2, 6, 18, 54, 162, … )
Jest to postęp geometryczny współczynnika równego 3 i pierwszego członu równego 2.
Zauważ, że aby znaleźć następcę liczby w tym ciągu, po prostu pomnóż przez 3, co powoduje, że stosunek tego postępu geometrycznego wynosi 3.
rozwiązane ćwiczeniao sekwencji liczb
Pytanie 1 - Analizując ciąg (1, 4, 9, 16, 25, … ), możemy powiedzieć, że kolejne dwie liczby będą:
A) 35 i 46.
B) 36 i 49.
C) 30 i 41.
D) 41 i 66.
Rozkład
Alternatywa B.
Aby znaleźć terminy ciągu, ważne jest, aby znaleźć prawidłowość ciągu, to znaczy zrozumieć jego prawo występowania. Zauważ, że od pierwszego do drugiego terminu dodajemy 3; od drugiego do trzeciego terminu dodajemy 5; od trzeciego do czwartego terminu i od czwartego do piątego terminu dodajemy odpowiednio 7 i 9, więc suma wzrasta o dwa jednostki do każdego wyrazu ciągu, czyli w następnym dodamy 11, potem 13, potem 15, potem 17 i tak dalej sukcesywnie. Aby znaleźć następcę 25, dodamy 11.
25 + 11 = 36.
Aby znaleźć następcę 36, dodamy 13.
36 + 13 = 49
Więc następne terminy będą 36 i 49.
Pytanie 2 - (Instytut AOCP) Następnie przedstawiany jest ciąg liczbowy, tak aby elementy tego ciągu były ułożone zgodnie z (logicznym) prawem formacji, gdzie x i y są liczbami całkowitymi: (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y). Obserwując ten ciąg i odnajdując wartości x i y, kierując się prawem powstawania danego ciągu, słuszne jest stwierdzenie, że
A) x to liczba większa niż 30.
B) y jest liczbą mniejszą niż 5.
C) suma x i y daje 25.
D) iloczyn x i y daje 106.
E) różnica między y i x, w tej kolejności, jest liczbą dodatnią.
Rozkład
Alternatywa C.
Chcemy znaleźć siódmy i ósmy wyraz tego ciągu.
Analizując prawo występowania ciągu (24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y), można zauważyć, że istnieje logika dla wyrazów nieparzystych (1 wyraz, 3 wyraz, 5 wyraz… ). Zauważ, że trzeci składnik jest równy pierwszemu członowi minus 2, ponieważ 24 – 2 = 22. Używając tej samej logiki, siódmy składnik, reprezentowany przez x, będzie piątym składnikiem minus 2, czyli x = 20 – 2 = 18.
Podobna logika obowiązuje dla terminów parzystych (2 semestr, 4 semestr, 6 semestr…): 4. semestr to 2. semestr minus 2, ponieważ 13 – 2 = 11 i tak dalej. Chcemy ósmego składnika, reprezentowanego przez y, który będzie szóstym składnikiem minus 2, więc y = 9 – 2 = 7.
Mamy więc x = 18 i y = 7. Analizując alternatywy, mamy, że x + y = 25, czyli suma x i y daje 25.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
