Rozwiązywanie równań to codzienność. Intuicyjnie rozwiązujemy równania w naszym codziennym życiu i nawet nie zdajemy sobie z tego sprawy. Zadając pytanie: „O której godzinie powinienem wstać, żeby iść do szkoły, żeby nie spóźnić się?" i otrzymujemy odpowiedź, właśnie rozwiązaliśmy równanie, w którym niewiadomą jest czas. Te codzienne pytania zawsze skłaniały matematyków wszechczasów do poszukiwania rozwiązań i metod rozwiązywania równań.
Formuła Baskara jest jedną z najbardziej znanych metod rozwiązywania równania. Jest to „przepis”, model matematyczny, który niemal natychmiast dostarcza pierwiastki równania drugiego stopnia. Co ciekawe, nie ma tak wielu formuł rozwiązywania równań, jak mogłoby się wydawać. Równania trzeciego i czwartego stopnia są bardzo skomplikowane do rozwiązania i istnieją wzory rozwiązywania najprostszych przypadków tego typu równań.
Interesujące jest wiedzieć, że stopień równania określa liczbę pierwiastków. Wiemy, że równanie drugiego stopnia ma dwa pierwiastki. Dlatego równanie trzeciego stopnia będzie miało trzy pierwiastki i tak dalej. Przyjrzyjmy się teraz, co dzieje się z niektórymi równaniami.
Przykład. Rozwiąż równania:
a) x2 + 3x – 4 = 0
Rozwiązanie: Stosując wzór Baskara do rozwiązania równania II stopnia, otrzymujemy:
Wiemy, że a = 1, b= 3 i c = – 4. A zatem,
Ponieważ rozwiązujemy równanie drugiego stopnia, mamy dwa pierwiastki.
b) x3 – 8 = 0
Rozwiązanie: W tym przypadku mamy niekompletne równanie trzeciego stopnia o prostej rozdzielczości. 
Rozwiązanie: W tym przypadku mamy niekompletne równanie czwartego stopnia, zwane również równaniem dwukwadratowym. Rozwiązanie tego typu równania jest również proste. Popatrz:
równanie x4 + 3x2 – 4 = 0 można przepisać w następujący sposób:
(x2)2 + 3x2 – 4 =0
robić x2 = t i zastępując w powyższym równaniu otrzymujemy:
t2 + 3t – 4 = 0 → co jest równaniem drugiego stopnia.
Możemy rozwiązać to równanie za pomocą wzoru Baskara.
Te wartości nie są pierwiastkami równania, ponieważ niewiadomą jest x, a nie t. Ale musimy:
x2 = t
Następnie,
x2 = 1 lub x2 = – 4
z x2 = 1, otrzymujemy, że x = 1 lub x = – 1.
z x2 = – 4, otrzymujemy, że nie ma liczb rzeczywistych spełniających równanie.
Dlatego S = {– 1, 1}
Zauważ, że w alternatywie mieliśmy równanie drugiego stopnia i znaleźliśmy dwa pierwiastki. W alternatywie b rozwiązujemy równanie trzeciego stopnia i znajdujemy tylko jeden pierwiastek. I równanie pozycji do, było to równanie 4 stopnia i znaleźliśmy tylko dwa pierwiastki.
Jak wspomniano wcześniej, stopień równania określa, ile ma pierwiastków:
Stopień 2 → dwa korzenie
Stopień 3 → trzy korzenie
Klasa 4 → cztery korzenie
Ale co się stało z równaniami alternatywnymi? b i do?
Okazuje się, że równanie stopnia n ≥ 2 może mieć pierwiastki rzeczywiste i pierwiastki złożone. W przypadku równania trzeciego stopnia elementu b znajdujemy tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, pozostałe dwa pierwiastki są liczbami zespolonymi. To samo dotyczy równania z punktu c: znajdujemy dwa pierwiastki rzeczywiste, pozostałe dwa są zespolone.
O złożonych pierwiastkach mamy następujące twierdzenie.
Jeżeli liczba zespolona a + bi, b ≠ 0, jest pierwiastkiem równania a0xNie +1xn-1+... +n-1x + aNie = 0, współczynników rzeczywistych, więc jego sprzężenie, a – bi, jest również pierwiastkiem równania.
Konsekwencje twierdzenia to:
• Równanie drugiego stopnia ze współczynnikami rzeczywistymi → ma tylko pierwiastki rzeczywiste lub dwa sprzężone pierwiastki złożone.
• Równanie trzeciego stopnia ze współczynnikami rzeczywistymi → ma tylko pierwiastki rzeczywiste lub jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa sprzężone pierwiastki zespolone.
• Równanie 4 stopnia ze współczynnikami rzeczywistymi → ma tylko pierwiastki rzeczywiste lub dwa pierwiastki sprzężone sprzężone i dwa pierwiastki sprzężone rzeczywiste lub tylko cztery pierwiastki sprzężone, dwa na dwa.
• równanie 5 stopnia ze współczynnikami rzeczywistymi → ma tylko pierwiastki rzeczywiste lub dwa pierwiastki złożone complex sprzężony i drugi rzeczywisty lub co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty i inne złożone pierwiastki dwa na dwa sprzężone.
To samo dotyczy równań o stopniach większych niż 5.
Autor: Marcelo Rigonatto
Specjalista ds. Statystyki i Modelowania Matematycznego
Brazylijska drużyna szkolna
Liczby zespolone - Matematyka - Brazylia Szkoła
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm
