Du irrasjonelle tall forårsaket stor uro hos matematikere i lang tid. I dag, allerede godt definert, kjenner vi som et irrasjonelt tall den som har desimalrepresentasjon er alltid en ikke-periodisk desimal. Hovedkarakteristikken ved irrasjonelle, og det som gjør dem forskjellige fra rasjonelle tall, er at de kan ikke representeres av en brøkdel.
Studien av irrasjonelle tall ble fordypet da det ble funnet ikke-eksakte røtter ved beregning av problemer som involverte Pythagoras teorem. Handlingen med å lete etter en løsning på disse unøyaktige røttene gjorde eksistensen av ikke-eksakte tiende bemerkelsesverdig periodisk, det vil si av tall hvis desimaldel er uendelig og ikke har en god sekvens. definert. De viktigste irrasjonelle tallene er ikke-periodiske desimaler, ikke-eksakte røtter og π.
Les også: Kvadratrot - tilfelle av roting der den radikale indeksen er 2
Sett med irrasjonelle tall
Før studiet av irrasjonelle tall ble tallsett sett naturlig, heltall og rasjonelle. Da vi gikk dypere inn i studiet av rektangeltrekanten, ble det klart at
det er noen røtter som ikke har noen nøyaktig løsning., spesielt var det mulig å se at ikke-eksakte rotløsninger er tall kjent som ikke-periodiske tiende.Midt i denne uroen har mange matematikere uten hell forsøkt å demonstrere at unøyaktige røtter er rasjonelle tall og som kan fremstilles som en brøkdel, men det som ble realisert var at disse tallene ikke kunne bli representert i dette skjema. Ettersom inntil nå ikke rasjonelle tall inkluderte disse tallene, oppstod behovet for å lage et nytt sett, kjent som settet med irrasjonelle tall.
Et tall er irrasjonelt når desimalrepresentasjonen er en ikke-periodisk desimal. |
Hva er irrasjonelle tall?
For å være et irrasjonelt tall, må det tilfredsstille definisjonen, det vil si dens desimalrepresentasjon er en ikke-periodisk desimal. Hovedkarakteristikken for ikke-periodiske desimaler er at de ikke kan representeres ved hjelp av en brøkdel, som viser at irrasjonelle tall er det motsatte av rasjonelle tall.
Hovednumrene med denne funksjonen er røttene ikke eksakte.
Eksempler:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Når du leter etter ikke-eksakte rotløsninger, det vil si å utføre desimalrepresentasjonen av disse tallene, alltid vil vi finne en ikke-periodisk desimal, som gjør disse tallene til elementer i settet med irrasjonell.
I tillegg til ikke-eksakte røtter er det ikke-periodiske desimaler selv, for eksempel, hvis vi beregner ikke-eksakte røtter, vil vi finne en ikke-periodisk desimal.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Irrasjonelle tall blir ofte representert med greske bokstaver, fordi det ikke er mulig å skrive alle desimalene.
Den første er π (les: pi), til stede i beregningen av areal og omkrets av sirkler. Har en verdi lik 3,1415926535…
I tillegg til π er et annet veldig vanlig tall ϕ (les: fi). Han er funnet i problemer som involverer proporsjon gylden. Den har en verdi lik 1.618033 ...
Se også: Hva er primtall?
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
rasjonelt og irrasjonelt nummer
Når du analyserer tallsettene, det er viktig å skille mellom rasjonelle tall og irrasjonelle tall. Foreningen av disse to settene danner et av de mest studerte settene i matematikk, settet med realer, det vil si settet med reelle tall det er sammenføyning av tall som kan representeres som brøker (rasjonelle) med tall som ikke kan vises som brøker (irrasjonelle).
I settet med rasjonelle tall, det er heltallene, de naturlige, de eksakte desimalene og de periodiske desimalene.
Eksempler på rasjonelle tall:
-60 → heltall
2,5 → nøyaktig desimal
5.1111111... → periodisk desimal
De irrasjonelle tallene er ikke-periodiske desimaler, så det er ikke noe tall som er rasjonelt og irrasjonelt på samme tid.
Eksempel på irrasjonelle tall:
1,123149… → ikke-periodisk tiende
2.769235… → ikke-periodisk tiende
Operasjoner med irrasjonelle tall
addisjon og subtraksjon
DE addisjon og subtraksjon av to irrasjonelle tall er vanligvis bare representert, med mindre en desimaltilnærming av disse tallene brukes, for eksempel:
a) √6 + √5
b) √6 - √5
c) 1.414213… + 3.1415926535…
Vi kan ikke legge til eller trekke fra verdiene på grunn av radikalene, så vi har nettopp latt operasjonen være indikert.
I desimalrepresentasjoner er det heller ikke mulig å utføre den eksakte summen, altså for å legge til to irrasjonelle tall, trenger vi en rasjonell tilnærming., og denne representasjonen er valgt i henhold til behovet for presisjon av disse dataene. Jo flere desimaler vi vurderer, jo nærmere den nøyaktige summen får vi.
Observasjon:settet med irrasjonelle tall er ikke lukket for addisjon eller subtraksjon, dette betyr at summen av to irrasjonelle tall kan resultere i et tall som ikke er rasjonelt. Hvis vi for eksempel beregner forskjellen på et irrasjonelt tall med det motsatte, må vi:
a) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Vi vet at 0 ikke er et irrasjonelt tall.
Multiplikasjon og deling
Multiplikasjonen og inndeling av irrasjonelle tall kan gjøres hvis representasjonen er en strålingImidlertid, som tillegg, i desimalrepresentasjon, det vil si å multiplisere eller dele to desimaler, kreves det en rasjonell tilnærming av dette tallet.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Legg også merke til at, i eksempel b, 4 er et rasjonelt tall, som betyr at multiplikasjon og deling av to irrasjonelle tall ikke er lukket, det vil si at de kan ha et rasjonelt resultat.
løste øvelser
Spørsmål 1 - Gjennomgå følgende tall:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Dette er irrasjonelle tall:
A) Bare jeg, IV og V
B) Bare II, III og VI
C) Bare II, IV og VI
D) Bare I, II, III og VI
E) Bare III, IV, V og VI
Vedtak
Alternativ B
I → tallet er nøyaktig desimal, rasjonell.
II → tallet er en ikke-periodisk, irrasjonell desimal.
III → π er irrasjonell, og dens doble, det vil si 2π, er også irrasjonell.
IV → tallet er en periodisk, rasjonell desimal.
V → eksakt, rasjonell rot.
VI → rot ikke eksakt, irrasjonell.
Spørsmål 2 - Vennligst bedøm følgende uttalelser:
I - Settet med reelle tall er foreningen av rasjonell og irrasjonell;
II - Summen av to irrasjonelle tall kan være et rasjonelt tall;
III - Tiende er irrasjonelle tall.
Når vi analyserer utsagnene, kan vi si at:
A) Den eneste uttalelsen jeg er sann.
B) Bare uttalelse II er sant.
C) Bare uttalelse III er sant.
D) Bare uttalelser I og II er sanne.
E) Alle utsagn er sanne.
Vedtak
Alternativ D
I → Sant, fordi definisjonen av settet med reelle tall er foreningen mellom rasjonell og irrasjonell.
II → Sant, når vi legger til et tall til det motsatte av det, vil vi ha tallet 0, som er rasjonelt.
III → Falske, ikke-periodiske tiende er irrasjonelle.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
