Polyhedra (fra latin poly - mange - og hedron - ansikt) er talltredimensjonalt dannet av foreningen av vanlige polygoner, der polyhedrale vinkler alle er kongruente. Foreningen av disse polygonene danner elementer som utgjør polyederet, de er: hjørner, kanter og ansikter. Imidlertid er ikke hver tredimensjonale figur en polyhedron, et eksempel på dette er figurer som har buede ansikter kalt runde kropper.
Det er en matematisk formel som relaterer elementene i en polyhedron kalt Eulers forhold. I tillegg er polyeder delt inn i to grupper: den såkalte polyhedraen konveks og ikke konveks. Noen polyeder fortjener spesiell oppmerksomhet, de kalles Platons polyeder: tetraeder, hekseder, oktaeder, dodekaeder og icosahedron.
Les også: Forskjeller mellom flate og romlige figurer
konveks polyeder
En polyhedron vil være konveks når den dannes av polygoner konveks, slik at følgende vilkår godtas:
- to av polygonene Aldri de er av samme plan, det vil si at de ikke tilhører samme plan.
- Hver side av en av disse polygonene tilhører bare to polygoner.
- Flyet som inneholder en av disse polygonene, etterlater de andre polygonene i samme halvrom.
Les også:Summen av indre og ytre vinkler til en konveks polygon
Elementer av en konveks polyhedron
Tenk på dette konvekse polyhedronet:
Du firhjulinger i figuren kalles ansikter av polyederet.
Du pentagoner er ansiktene og bunnen av polyedronet, som er oppkalt femkantet base polyhedron.
Segmentene som danner hvert av ansiktene kalles kanter av polyederet.
Punktene der kantene møtes kalles hjørner.
Linjesegmentet JC vil bli kalt diagonalt av polyhedronen, betegnet med:
JC er en av diagonalene, forstår vi diagonalt av polyederet som værende linjesegmentet som forbinder to hjørner som ikke tilhører samme ansikt.
Vi har også den polyhedrale vinkelen, dannet mellom kantene, betegnet med:
En polyhedral vinkel kalles a trihedral Når tre kantene stammer fra et toppunkt. På samme måte kalles det tetraedral, sak fire kantene stammer fra et toppunkt og så videre.
Fra nå av vil vi etablere noen notasjoner, de er:
Vite mer: Planlegging av geometriske faste stoffer
Egenskaper av en konveks polyhedron
Eiendom 1
Summen av kantene på alle flater er lik dobbelt så mange kanter på polyhedronen.
Eksempel
En polyhedron har 6 firkantede ansikter. La oss bestemme antall kanter.
I følge eiendommen må du bare multiplisere antall kanter på et ansikt med antall ansikter, og dette er lik dobbelt så mange kanter. Og dermed:
Eiendom 2
Summen av toppunktene til alle flater er lik summen av kantene på alle flater, som er lik dobbelt så mange kanter.
Eksempel
En polyhedron med 5 tetraedervinkler og 4 heksahedrale vinkler. La oss bestemme antall kanter.
Analogt med forrige eksempel, sier den andre egenskapen at summen av kantene på alle ansiktene er lik dobbelt så mange kanter. Antall kanter er gitt av produktet fra 5 av 4 og 4 av 6, da de er 5 tetraedriske og 4 heksahedrale vinkler. Og dermed:
Konkave (ikke-konvekse) polyedre
En polyhedron er ikke-konveks eller konkav når vi tar to punkter på forskjellige ansikter og den rette r inneholder disse punktene ikke alle i polyhedronen.
Legg merke til at den rette linjen (i blått) ikke er komplett i polyedronet, så polyhedronet (i rosa) er konkave eller ikke-konveks.
vanlig polyhedra
Vi sier at en polyhedron er vanlig når ansiktene dine er vanlige polygoner like hverandre og med de polyhedrale vinklene like.
Se noen eksempler:
Legg merke til at alle ansiktene dine er vanlige polygoner. Ansiktene er dannet av firkanter og kantene er alle kongruente, det vil si at de har samme mål.
leseogså: Hva er vanlige og konvekse polygoner?
Eulers forhold
Også kjent som Eulers teorem, resultatet ble bevist av Leonhard Euler (1707 - 1783) og garanterer at i alt lukket konveks polyeder følgende forhold er gyldig:
Platons polyhedra
Ethvert polyeder som tilfredsstiller følgende betingelser kalles Platons polyhedron:
Euler-forholdet er gyldig
Alle ansiktene har samme antall kanter
Alle polyhedrale vinkler har samme antall kanter
Det er bevist at det bare er fem vanlige og konvekse polyedre, eller Platons polyedre, de er:
vanlig tetraeder
tetraeder har 4 trekantede ansikter kongruent og 4 trihedrale vinkler kongruent.
vanlig heksaheder
hexahedron har 6 firkantede ansikter kongruent og 8 trekantede vinkler kongruent.
vanlig oktaeder
oktaeder har 8 trekantede ansikter kongruent og 6 tetraedrale vinkler kongruent.
vanlig dodekaeder
dodekaeder har 12 femkantede ansikter kongruent og 20 vinklertrihedral kongruent.
vanlig icosahedron
Icosaeder har 20 trekantede ansikter kongruent og 12 pentahedrale vinkler kongruent.
løste øvelser
1) (Enem) En juvel ble kuttet i form av en konveks polyhedron med 32 ansikter, hvorav 20 er heksaheder og resten er femkantede. Denne juvelen vil være en gave til en dame som feirer bursdagen sin, og fullfører en alder som har antall hjørner av denne polyhedronen. Denne damen fullfører:
a) 90 år
b) 72 år gammel
c) 60 år gammel
d) 56 år gammel
e) 52 år gammel
Løsning:
Gir eiendom 1 av konveks polyhedra vet vi at:
Nå hvordan vi vet antall kanter det er antall ansikter, vi kan bruke Euler-forholdet.
Siden alderen du fullfører er lik antall hjørner, er dette 60 år. Alternativ c.
2) (PUC-SP) Hvor mange kanter har en konveks polyhedron med trekantede flater der antall hjørner er tre femtedeler av antall flater?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Løsning:
Fra egenskapene til en konveks polyhedron og øvelseserklæringen har vi:
Ved å erstatte disse verdiene i Euler-forholdet har vi følgende:
Organisering av den forrige ligningen og løsning av ligningen i F, følger at:
Ved å erstatte verdien av antall ansikter som er funnet i kantligningen, vil vi ha:
Alternativ b
av Robson Luiz
Matematikklærer
