DE kombinatorisk analyse er et studieretning i matematikk assosiert med telleregler. I begynnelsen av 1700-tallet førte studien av spill som involverer terning og kort, til at tellingsteoriene hadde stor utvikling.
Arbeidet med kombinatorikk muliggjør realisering av stadig mer nøyaktige tellinger.Det grunnleggende prinsippet om telling (PFC), faktoriell og typer gruppering er eksempler på begreper studert i kombinatorisk analyse, som i tillegg til å gi større presisjon hjelper Neiutvikling av andre områder av matematikken, for eksempel De sannsynlighet og O Newtons binomial.
Les også: ordning eller çkombinasjon?
Hva er kombinatorisk analyse for?
Kombinatorisk analyse er knyttet til tellingsprosessen, det vil si at studiet av dette matematikkområdet lar oss utvikle verktøy som hjelper oss til å utføre teller mer effektivt. La oss se på et typisk telleproblem, se:
Eksempel 1
Tenk på tre byer A, B og C forbundet med motorvei R1, R2, R3, R4 og R5. Bestem hvor mange måter vi kan komme fra by A til by C via by B.
Merk at vi trenger å forlate by A og dra til by B, og først da kan vi reise til by C, så la oss analysere alle muligheter å gjennomføre arrangementet etter motorveiene.
1. vei: R1 → R3
2. vei: R1 → R4
3. vei: R1 → R5
4. vei: R2 → R3
5. vei: R2 → R4
6. vei: R2 → R5
Så vi har seks forskjellige måter å komme oss fra by A til by C via by B. Vær imidlertid oppmerksom på at det foreslåtte problemet er relativt enkelt, og at analysen som ble utført var lite arbeidskrevende. Så fra nå av skal vi studere mer sofistikerte verktøy som gjør det mulig å løse problemer med mye mindre arbeid.
Grunnleggende prinsipp for telling (PFC)
Tenk på en hendelse E som kan utføres i n uavhengige og påfølgende trinn. Tenk nå at antall muligheter for å utføre det første trinnet er lik P1, forestill deg også at antall muligheter for å gjennomføre andre trinn er P.2, og så videre, til vi når den siste fasen, som har PNei muligheter som skal utføres.
The Fundamental Principle of Counting (PFC) sier at totale muligheter for å avholde arrangementet E er gitt av:
P1 · P2 ·… · SNei
Dermed blir summen gitt av produktet av mulighetene for hvert av trinnene som utgjør hendelse E. Merk at, for å bestemme de totale mulighetene for å avholde arrangement E, er det nødvendig å kjenne til de totale mulighetene for hver av trinnene.
Eksempel 2
La oss gjøre om eksempel 1 ved å bruke det grunnleggende prinsippet om telling.
Tenk på bildet i eksempel 1.
Merk at arrangementet kan kjøres i to trinn, den første går fra by A til by B, og den andre går fra by B til by C. For å gjennomføre det første trinnet har vi to muligheter (veier R1 og R2), og for å gjennomføre den andre fasen, har vi tre muligheter (R3, R4 og R5).
1. trinn → to muligheter
2. trinn → tre muligheter
Etter det grunnleggende prinsippet om å telle, må vi multiplisere de totale mulighetene for hvert trinn.
2 · 3
6
Derfor, for å gå fra by A til by C via by B, har vi totalt seks muligheter.
Eksempel 3
Hvor mange måter kan de tre olympiske medaljene fordeles i en konkurranse på Terrengsykkel med fem konkurrenter?
Organisering av utdeling av medaljer er en begivenhet som kan gjennomføres i tre trinn. Det første trinnet er å analysere de totale mulighetene for hvem som vil få gullmedaljen, det vil si fem muligheter.
Det andre trinnet er å analysere mulighetene for hvem som vil få sølvmedaljen, det vil si fire, siden det første stedet ikke går inn i dette valget. Det tredje trinnet er å analysere de totale mulighetene for hvem som vil få bronsemedaljen, det vil si tre, siden de to første allerede er valgt.
1. trinn → fem muligheter
2. trinn → fire muligheter
3. trinn → tre muligheter
Så, ved det grunnleggende prinsippet om telling, har vi:
5 · 4 · 3
60 muligheter
Se også: Telleprinsipp for tilsetningsstoffer - forening av ett eller flere sett
Faktor
O fabrikk er en måte å spalt et naturlig tall. For å beregne et talls faktor, bare multipliser det med alle forgjengerne opp til tallet 1. Faktoriet er representert med utropstegnet - “!”.
Se noen eksempler på hvordan man beregner faktoren for noen tall.
De) 2! (leser: to faktorier)
For beregningen er det bare å multiplisere tallet som følger fabrikkstedet med alle sine forgjengere opp til tallet 1, slik:
2! = 2 ·1 = 2
B) 4! = 4 · 3 · 2 ·1 = 24
ç) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
d) 1! = 1
Formelt kan vi skrive fakultetet som følger:
Tenk på et naturlig tall n> 2. Faktoriet til n er angitt med n! og er gitt ved å multiplisere n med alle sine positive heltalsforgjengere.
Nei! = n (n - 1) · (n - 2) · (n - 3) ·… · 1
Legg merke til følgende fakta:
4! og 5!
Utfør nå utviklingen av begge:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 ·1
Merk at i utviklingen av 5! vises utviklingen av 4!. Så vi kan skrive 5! og dermed:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
5! = 5 · 4!
Eksempel 4
Beregn faktorsekhyle:
Se at de 15! ble utviklet til 13!. Vær også oppmerksom på at elementene blir multiplisert i telleren til brøkdelen, slik at vi kan "kutte" 13!, og kun resultere i 15 · 14.
Observasjon:0! = 1
Grupperingstyper
Noen telleproblemer er mer komplekse og lettere løst med nye verktøy. Disse verktøyene kalles gruppering fordi de grupperer elementer på forskjellige måter, noe som gjør det lettere å telle prosessen. Disse grupperingene er: enkel ordning, permutasjon og enkel kombinasjon.
enkelt opplegg
Tenk på et sett med n distinkte elementer. la oss kalle det ordning fra n elementene tatt fra p til p, hvilken som helst rekkefølge ordnet av p, og de forskjellige elementene som er valgt blant elementene.
Dermed vil antallet delmengder dannet av p-elementer være arrangementet av n elementer tatt fra p til p. Formelen som lar oss beregne antall ordninger er gitt av:
Eksempel 5
Beregn verdien av A.4,2 + A5,2.
For å beregne uttrykkets verdi, la oss bestemme hver av matriser og deretter legge til disse verdiene sammen. For å bestemme verdien til hver matrise, må vi erstatte verdiene i formelen.
Merk at n = 4 og p = 2, begge har blitt erstattet i formelen. Nå må vi beregne verdien av matrisen til fem elementer tatt to og to.
Så vi må:
DE4,2 + A5,2
12 + 20
32
Eksempel 6
Hvor mange forskjellige firesifrede naturlige tall kan dannes ved å bruke tallene 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9?
I dette problemet kan vi bruke det enkle arrangementet, siden 2435 ≠ 4235. Vi vil se at i noen tilfeller ikke rekkefølgen på elementene skiller dem, og dermed kan vi ikke bruke ordningen.
Siden vi ønsker å bestemme det totale antallet som kan dannes, legg merke til at totalen av elementene er lik åtte, og vi vil gruppere dem fire etter fire, så:
enkel permutasjon
Tenk på et sett med n elementer. la oss kalle det enkel permutasjon av n elementer hvert arrangement av n elementer tatt n til n. Så vi må:
For at det ikke skal være noen forveksling mellom begrepene, la oss betegne den enkle permutasjonen av n elementer av PNei. Så vi må:
PNei = n!
Eksempel 7
Beregn P7 og P3.
For å beregne disse permutasjonene, må vi erstatte verdiene i formelen. Se:
P7 = 7 · 6 · 5· 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
P3 = 3 · 2 · 1
P3 = 6
Eksempel 8
Bestem hvor mange anagrammer det kan være i ordet Brasil.
Vi forstår som anagram alle mulige overføringer av bokstavene i ordet, for eksempel "Lisarb" er en anagram av ordet Brasil. For å bestemme antall anagrammer, må vi beregne permutasjonen av bokstavene i ordet, så vi må:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Derfor har ordet Brasil 720 anagrammer.
Også tilgang: Permutasjon med gjentatte elementer
enkel kombinasjon
Vurder et sett A med n distinkte elementer. la oss kalle det kombinasjon av n elementene tatt p til p hvilken som helst delmengde av A dannet av p-elementer. Formelen for beregning av kombinasjonen er gitt av:
Eksempel 9
Beregn kombinasjonen av 10 elementer tatt fra fire til fire.
Eksempel 10
Hvor mange firhjulinger tydelig kan vi danne med hjørner i punktene A, B, C, D, E og F?
Merk at ABCD-firkanten er den samme som CDBA-firkanten i denne sammenheng, så vi bør bruke kombinasjonen og ikke matriser. Vi har totalt seks poeng, og vi vil kombinere dem fire etter fire, slik:
Derfor kan vi danne 15 forskjellige firkanter.
Kombinatorisk analyse og sannsynlighet
Studiet av sannsynlighet er nært knyttet til studiet av kombinatorisk analyse.. I noen sannsynlighetsproblemer er det nødvendig å bestemme prøveområdet, som består av et sett dannet av alle mulige utfall av en gitt hendelse.
I noen tilfeller skrives prøveområdet E veldig direkte, som i flippen på en rettferdig mynt, der de mulige resultatene er hoder eller haler og er betegnet som følger:
E = {hoder, haler}
Tenk deg følgende situasjon: en matrise kastes tre på rad, og vi er interessert i å bestemme prøveområdet for dette eksperimentet. Merk at å skrive ned alle mulighetene ikke lenger er en enkel oppgave, vi må bruke det grunnleggende prinsippet om telling (PFC). Arrangementet kan utføres i tre trinn, i hver av dem har vi seks muligheter, siden en terning har seks ansikter, slik:
1. trinn → seks muligheter
2. trinn → seks muligheter
3. trinn → seks muligheter
Av PFC har vi at den totale muligheten er:
6 · 6 · 6
216
Så vi kan si at prøveområdet til denne hendelsen er 216.
Se at det for studiet av sannsynlighet er det en grunnleggende kunnskap om kombinatorisk analyse kreves., fordi det er umulig å løse de aller fleste sannsynlighetsøvelser uten å bestemme prøveområdet til et eksperiment. For flere detaljer om dette feltet matematikk, les teksten:Sannsynlighet.
løste øvelser
Spørsmål 1 - Bestem antall anagrammer for ordet castle. Bestem deretter antall anagrammer som begynner med bokstaven c.
Vedtak
For å bestemme antall anagrammer, må vi beregne permutasjonen av antall bokstaver, slik:
P7 = 7!
P7 = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P7 = 5040
Ordet har 5040 anagrammer. For å bestemme antall anagrammer som begynner med bokstaven c, må vi fikse bokstaven og beregne anagrammet til de andre, se:
Ç__ __ __ __ __ __
Når vi fikser bokstaven c, merker du at det er seks felt igjen for å beregne permutasjonen, slik:
P6 = 6!
P6 = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
P6 = 720
Så vi har 720 anagrammer av ordet castle som begynner med bokstaven c.
spørsmål 2 - I et klasserom er det fem menn og syv kvinner. Hvor mange grupper på tre menn og fire kvinner kan dannes?
Vedtak
Se først at rekkefølgen vi velger mennesker ikke betyr noe, for eksempel gruppen dannet av João, Marcos og José er den samme gruppen dannet av Marcos, João og José, derfor må vi bruke kombinasjonen for beregning.
La oss beregne antall grupper som kan dannes av menn og kvinner, og i La oss multiplisere disse resultatene, fordi hver gruppe menn kan blande seg med hver gruppe kvinner.
Menn
Totalt → 5
Mengde i gruppe → 3
Kvinner
Totalt → 7
Mengde i gruppe → 4
Derfor er det totale antallet grupper som kan dannes av tre menn og fire kvinner:
Ç5,3 · Ç7,4
10 · 35
350
av Robson Luiz
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/analise-combinatoria.htm
