Vinkel mellom to vektorer

Vektorer er matematiske objekter som er ansvarlige for å beskrive banen til poeng. Mange ganger representerer disse punktene konkrete objekter i bevegelse, som blir studert i detalj av fysikk. Når man vurderer kreftene som er involvert i å flytte (faktisk eller potensielt) et objekt, bruker fysikk vektorer for å representere dem. Vinkelen disse vektorene danner er en avgjørende del av beregningene, som en liten variasjon i vinkelen kan kreve at mer kraft påføres et objekt for at det skal starte eller bli bevegelse.

Vektorer er geometrisk representert med piler, som er orienterte rette linjer. Dermed indikerer den ene enden av segmentet den endelige posisjonen til det flyttede punktet, og den andre enden er umerket, noe som indikerer at bevegelsen startet der. Endepunktets plasseringspunkt brukes vanligvis til å identifisere en vektor som starter ved opprinnelsen til et koordinatsystem. Tatt i betraktning det kartesiske planet som koordinatsystem, blir en vektor v, som starter ved punktet (0,0) og slutter ved punktet (a, b), kun representert som

vektor v = (a, b). Hvis vektoren starter på et annet punkt, er det bare å flytte den til riktig sted.

Vektor i det kartesiske planet

Siden disse er orienterte rette linjer, er det mulig å beregne lengden, som kalles vektor norm. Beregningen av normen til en vektor er gitt på samme måte som avstand mellom to punkter og tilsvarer beregning av modulen til et reelt tall. På denne måten er normen for vektoren v = (a, b) betegnet med | v | og kan beregnes som følger:

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

Med tanke på to vektorer v = (a, b) og u = (a ', b'), er innenlandsk produkt blant dem er betegnet med og er gitt av følgende uttrykk:

= a · a '+ b · b'

Punktproduktet mellom to vektorer er også definert gjennom vinkelen mellom dem. Denne definisjonen gjør det mulig å beregne vinkelen mellom to vektorer.

Vinkel mellom to vektorer

Når man tar de samme vektorene v og u, blir cosinus for vinkelen θ mellom dem gitt av følgende uttrykk:

cosθ =
| v | · | u |

Med disse dataene, definisjonene og på en måte formler er det mulig å tegne en strategi for å beregne vinkelen mellom to vektorer.

Gitt vektorene v = (2,2) og u = (0,2), vil vi beregne vinkelen mellom dem. For å gjøre dette må du først beregne normen for hver vektor og produktet mellom disse normene:

| v | = √ (2² + 2²)
| v | = √ (4 + 4)
| v | = √8

| u | = √ (0² + 2²)
| u | = √ (0 + 4)
| u | = √4

| v | · | u | = √8 · √4
| v | · | u | = 4√2

Beregn deretter det indre produktet mellom v og u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

Til slutt, bruk vinkelformelen mellom vektorene for å beregne cosθ og a cosinus verditabell for å finne verdien av θ.

cosθ =
| v | · | u |

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk

Vil du referere til denne teksten i et skole- eller akademisk arbeid? Se:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Vinkel mellom to vektorer"; Brasilskolen. Tilgjengelig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Tilgang 27. juni 2021.