Matrise: hva er det, typer, operasjoner, eksempler

DE hovedkvarter det brukes ofte til å organisere tabelldata for å lette problemløsing. Matriseinformasjon, enten det er numerisk eller ikke, er ordnet pent i rader og kolonner.

Settet med matriser utstyrt med driften av addisjon, subtraksjon og multiplikasjon og funksjoner, som et nøytralt og omvendt element, danner en matematisk struktur som gjør det mulig å bruke det på forskjellige felt av dette store kunnskapsområdet.

Se også: Forholdet mellom matrise og lineære systemer

Matrise representasjon

Før du starter studiene på matriser, er det nødvendig å etablere noen notasjoner om deres representasjoner. På matriser er alltid representert med store bokstaver. (A, B, C ...), som er ledsaget av indekser, der første nummer angir antall rader, og det andre antallet kolonner.

DE antall linjer (horisontale rader) og kolonner (vertikale rader) av en matrise bestemmer dens rekkefølge. Matrisen A har rekkefølge m etter n. Informasjonen i en matrise kalles elementer og er organisert i parentes, firkantet parentes eller to vertikale søyler, se eksemplene:

Matrisen A har to rader og tre kolonner, så dens rekkefølge er to og tre → A_2x3.

Matrise B har en rad og fire kolonner, så rekkefølgen er en etter fire, så den heter linjematrise → B_1x4.

Matrise C har tre rader og en kolonne, og så kalles det kolonnematrise og rekkefølgen er tre etter én → C_3x1.

Vi kan generisk representere elementene i en matrise, det vil si at vi kan skrive dette elementet ved hjelp av en matematisk representasjon. Ogenerisk element vil bli representert med små bokstaver (a, b, c ...), og som i representasjonen av arrays, har den også en indeks som indikerer plasseringen. Det første tallet indikerer raden elementet er i, og det andre tallet indikerer kolonnen det er plassert i.

Tenk på følgende matrise A, vi vil liste opp elementene.

Når vi observerer det første elementet som ligger i første rad og første kolonne, det vil si i rad en og kolonne en, har vi tallet 4. For å gjøre skrivingen enklere, vil vi betegne det med:

De₁₁ → linje ett element, kolonne ett

Så vi har følgende elementer av matrise A_2x3:

De₁₁ = 4

De₁₂ =16

De₁₃ = 25

De₂₁ = 81

De₂₂ = 100

De₂₃ = 9

Generelt kan vi skrive en matrise som en funksjon av dens generiske elementer, dette er generisk matrise.

En matrise av m rad og n kolonner er representert av:

• Eksempel

Bestem matrisen A = [a_ij ]_2x2, som har følgende opplæringslov til_ij = j² - 2i. Fra utsagnsdataene har vi at matrisen A er av orden to og to, det vil si at den har to linjer og to kolonner, derfor:

I tillegg ble matrisedannelsesloven gitt, det vil si at hvert element er fornøyd med forholdet til_ij = j² - 2i. Ved å erstatte verdiene til i og j i formelen har vi:

De₁₁ = (1)² - 2(1) = -1

De₁₂ = (2)² - 2(1) = 2

De₂₁ = (1)² - 2(2) = -3

De₂₂ = (2)² - 2(2) = 0

Derfor er matrise A:

Array Typer

Noen matriser fortjener spesiell oppmerksomhet, se nå disse typer matriser med eksempler.

• firkantet matrise

En matrise er firkantet når antall rader tilsvarer antall kolonner. Vi representerer matrisen som har n rader og n kolonner etter A_Nei (les: kvadratmatrise av ordre n).

I firkantede matriser har vi to veldig viktige elementer, diagonaler: hoved og sekundær. Hoveddiagonalen er dannet av elementer som har like indekser, det vil si at det er hvert element a_ij med i = j. Den sekundære diagonalen er dannet av elementene a_ij med i + j = n +1, hvor n er matriksrekkefølge.

• identitetsmatrise

Identitetsmatrisen er en kvadratmatrise som har alleduelementene i hoveddiagonalen er lik 1 og andre elementer lik 0, dens dannelseslov er:

Vi betegner denne matrisen med I, hvor n er rekkefølgen på kvadratmatrisen, se noen eksempler:

• enhetsmatrise

Det er en kvadratmatrise av ordre en, det vil si at den har en rad og en kolonne, og derfor bare ett element.

A = [-1]_1x1, B = jeg₁ = (1)_1x1 og C = || 5 ||_1x1

Dette er eksempler på enhetsmatriser, med vekt på matrise B, som er en enhetsidentitetsmatrise.

• null matrise

En matrise sies å være null hvis alle elementene er lik null. Vi representerer en null matrise av orden m av n av O_mxn.

Matrisen O er null i rekkefølge 4.

• motsatt matrise

Tenk på to likeordnede matriser: A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_mxn. Disse matrisene vil bli kalt motsatt hvis, og bare hvis_ij = -b_ij. Og dermed, de tilsvarende elementene må være motsatte tall.

Vi kan representere matrisen B = -A.

• transponert matrise

To matriser A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_nxm de er transponert hvis, og bare hvis, den_ij = b_ji , det vil si gitt en matrise A, for å finne dens transponering, bare ta linjene som kolonner.

Transponeringen av matrise A er betegnet med A^T. Se eksemplet:

Se mer: Invers matrise: hva er det og hvordan man kan verifisere det?

Matriseoperasjoner

Generell fremstilling av en n x m matrise.

Matrisesettet har operasjonene til aveldig veldefinert tillegg og multiplikasjon, det vil si når vi opererer to eller flere matriser, så tilhører resultatet av operasjonen fortsatt settet til matriser. Men hva med subtraksjonsoperasjonen? Vi forstår denne operasjonen som omvendt av addisjon (motsatt matrise), som også er veldig godt definert.

La oss forstå ideene til før vi definerer operasjonene tilsvarende element og likestilling av matriser. Tilsvarende elementer er de som har samme posisjon i forskjellige matriser, det vil si at de er plassert i samme rad og kolonne. Det er klart at matriser må være av samme rekkefølge for at samsvarende elementer skal eksistere. Se:

Elementene 14 og -14 er tilsvarende elementer i motsatte matriser A og B, ettersom de opptar samme posisjon (samme rad og kolonne).

To matriser vil sies å være like hvis og bare hvis de tilsvarende elementene er like. Gitt matrisene A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_mxn, disse vil være de samme hvis, og bare hvis_ij = b_ij for noen jeg j.

• Eksempel

Å vite at matriser A og B er like, bestem verdiene til x og t.

Siden matrise A og B er like, må de tilsvarende elementene være like, derfor:

x = -1 og t = 1

• Addisjon og subtraksjon av matriser

Driften av tillegg og subtraksjon mellom matriser de er ganske intuitive, men først må en betingelse være oppfylt. For å utføre disse operasjonene er det først nødvendig å verifisere at rekkefølgen er like.

Når denne tilstanden er bekreftet, finner tilsetning og subtraksjon av matrisen sted ved å legge til eller trekke de tilsvarende elementene i matrisene. Tenk på matriser A = [a_ij]_mxn og B = [b_ij]_mxn, deretter:

A + B = [a_ij + b_ij] _mxn

A - B = [a_ij - B_ij] _mxn

• Eksempel

Vurder matriser A og B nedenfor, bestem A + B og A - B.

Les også: Hele antall operasjoner

• Multiplikasjon av et reelt tall etter matrise

Multiplikasjonen av et reelt tall i en matrise (også kjent som matriksmultiplikasjon) med en skalar er gitt ved å multiplisere hvert element i matrisen med skalaren.

La A = [a_ij]_mxn en matrise og t et reelt tall, så:

t · A = [t · a_ij]_mxn

Se eksemplet:

• Matriksmultiplikasjon

Multiplikasjonen av matriser er ikke så triviell som tillegg og subtraksjon av dem. Før du utfører multiplikasjonen, må en betingelse også være oppfylt angående rekkefølgen på matrisene. Vurder matriser A_mxn og B_nxr.

For å utføre multiplikasjonen, er antall kolonner i den første matrisen må være lik antall rader i den andre. Produktmatrisen (som kommer fra multiplikasjon) har en rekkefølge gitt av antall rader i den første og antall kolonner i den andre.

For å utføre multiplikasjonen mellom matriser A og B, må vi multiplisere hver av radene med alle kolonnene som følger: det første elementet av A multipliseres med det første elementet i B og deretter legges til det andre elementet i A og multipliseres med det andre elementet i B, og så suksessivt. Se eksemplet:

Les også: Laplace's teorem: vet hvordan og når du skal bruke det

løste øvelser

Spørsmål 1 - (U. OG. Londrina - PR) La matrisene A og B være henholdsvis 3 x 4 og p x q, og hvis matrisen A · B har rekkefølge 3 x 5, er det riktig at:

a) p = 5 og q = 5

b) p = 4 og q = 5

c) p = 3 og q = 5

d) p = 3 og q = 4

e) p = 3 og q = 3

Løsning

Vi har påstanden om at:

DE_3x4 · B_pxq = C_3x5

Fra tilstanden til å multiplisere to matriser, har vi at produktet bare eksisterer hvis antall kolonner i den første er lik antall rader i den andre, så p = 4. Og vi vet også at produktmatrisen er gitt av antall rader i den første med antall kolonner i den andre, så q = 5.

Derfor er p = 4 og q = 5.

A: Alternativ b

Spørsmål 2 - (Vunesp) Bestem verdiene til x, y og z, på følgende likhet, som involverer 2 x 2 reelle matriser.

Løsning

La oss utføre operasjonene mellom matriser og deretter likheten mellom dem.

For å bestemme verdien av x, y og z, vil vi løse det lineære systemet. Først, la oss legge til ligninger (1) og (2).

2x - 4 = 0

2x = 4

x = 2

Ved å erstatte verdien av x funnet i ligning (3) har vi:

2² = 2z

2z = 4

z = 2

Og til slutt, ved å erstatte verdiene av x og z funnet i ligning (1) eller (2), har vi:

x + y - z = 0

2 + y - 2 = 0

y = 0

Derfor er løsningen på problemet gitt av S = {(2, 0, 2)}.

av Robson Luiz
Matematikklærer