Permutasjoner er en del av telleproblemene. Vi bruker permutasjoner for å vite antall rekkefølger av elementene i et sett. Øv på kunnskapen din om permutasjon og løs tvilen din med de løste øvelsene.
Øvelse 1
To venner spilte med sekssidige terninger. Det er kjent at nummer 4, 1, 2 og 5 kom ut, ikke nødvendigvis i den rekkefølgen. Hvor mange sekvenser med resultater kan det ha vært?
Svar: 24
En viss rekkefølge av resultater kan være:
1, 2, 4 og 5 eller
5, 4, 5 og 1 eller
4, 5, 1 og 2
For å bestemme det totale antallet mulige bestilling, beregner vi en permutasjon med fire distinkte elementer.
Øvelse 2
En gruppe på seks venner gikk for å se en film på kino og kjøpte billetter til samme seterad. Med tanke på at det er et par og de satt i nabostoler, på hvor mange måter kan disse vennene passe inn i stolraden?
Svar: 240
Siden alle elementer i "venner"-settet tas med i beregningen, er det et permutasjonsproblem.
For å beregne totalt mulig antall permutasjoner, vurderte vi 5 elementer, da paret alltid må være sammen.
Videre, av disse 120 mulighetene, må vi gange med to, da paret kan bytte plass med hverandre.
Dermed er antallet mulige måter for venner å organisere seg i stolraden på:
120. 2 = 240
Øvelse 3
En klasse på 7 elever leker på gårdsplassen og utnytter friminuttene. Etter å ha hørt signalet som informerer returen til klasserommene, beveger elevene seg for å danne en linje. På hvor mange forskjellige måter kan elevene danne køsekvensen?
Svar: 5040
Det totale antallet mulige måter å organisere køen på er en permutasjon av 7 forskjellige elementer.
Øvelse 4
En fotograf justerer kameraet sitt for å fotografere 5 barn arrangert på en benk. I denne gruppen er det 3 jenter og 2 gutter. Et mulig arrangement av barna for bildet vil være:
Med tanke på stillingene der barn kan sitte på benken, på hvor mange måter kan fotografen organisere guttene og jentene og få forskjellige bilder?
Svar: 10
Dette er et tilfelle av permutasjon med gjentatte elementer. Vi må dele det totale antallet permutasjoner med produktet mellom permutasjonene til elementene som gjentas.
Øvelse 5
Hvor mange anagrammer kan lages med bokstavene i ordet PREFEITURA?
Svar: 907 200
Ordet RÅDHUSET har 10 bokstaver, hvorav noen gjentas. Bokstaven E vises to ganger, det samme gjør R.
Vi beregner divisjonen mellom permutasjonen av 10 elementer og deler med produktet av permutasjonene til gjentatte elementer.
Øvelse 6
(UEMG 2019) Fra settet med alle permutasjoner av bokstavene i ordet PONTA, fjernes en tilfeldig. Hva er sannsynligheten for å fjerne et ord som begynner og slutter med en vokal?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Trinn 1: antall alle permutasjoner med bokstavene i ordet PONTA.
Siden det er fem forskjellige bokstaver, har vi:
Steg 2: antall permutasjoner som begynner og slutter med en vokal.
For den første bokstaven er det to vokalalternativer, for den siste bokstaven vil det bare være 1.
For konsonanter er det 3! muligheter.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Trinn 3: Bestem sannsynlighetsforholdet.
Øvelse 7
(EsPCex 2012) Sannsynligheten for å oppnå et tall som er delelig med 2 når du tilfeldig velger en av permutasjonene til sifrene 1, 2, 3, 4, 5 er
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Trinn 1: totale permutasjoner.
Siden det er fem forskjellige elementer, har vi at antall permutasjoner av 5 elementer er lik 5 faktorielle.
Steg 2: permutasjoner av tall som er delelig med to med de fem sifrene.
For å være delelig med 2 er betingelsen at den er partall. Dermed er det to alternativer for det siste sifferet, 2 og 4.
For de andre stillingene er det 4! muligheter.
Trinn 3: sannsynlighetsberegning.
Øvelse 8
(EsFCEx 2022) La P være settet med permutasjoner av sekvensen 1, 3, 6, 9, 12 der det første leddet er forskjellig fra 1. Hvis en av disse sekvensene trekkes tilfeldig, er sannsynligheten for at det andre leddet er 3 lik p/q, med p, q ∈ IN* og gcd (p, q) = 1. Derfor er q – p lik
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Trinn 1: Bestem antall totalt mulige tilfeller i prøverommet.
Fra høyre til venstre kan ikke det første tallet være ett, så det er 4 muligheter for å innta den første posisjonen.
Det er 4 til å besette de andre stillingene! muligheter.
Permutasjonene er:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Steg 2: Bestem mulighetene for at hendelsen skal inntreffe, den andre er tre, den første er forskjellig fra én.
Permutasjonene er:
3.1.3.2.1 = 18
Trinn 3: sannsynlighetsforhold.
Sannsynlighetsforholdet er:
Med p = 18 og q = 96.
Imidlertid er det fortsatt betingelsen at den største felles divisor mellom p og q er 1, noe som ikke forekommer med 18 og 96.
Vi må forenkle og teste brøker tilsvarende 18/96.
Trinn 4: forenkling av sannsynlighetsbrøken og bestemmelse av p og q.
Som gcd (3, 16) = 1, p = 3 og q = 16.
Trinn 5: konklusjon.
q - p = 16 - 3 = 13
Lære mer om permutasjon.
For flere øvelser, se:
Kombinatoriske analyseøvelser
ASTH, Rafael. Permutasjonsøvelser løst og forklart.All Matter, [n.d.]. Tilgjengelig i: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Tilgang på:
Se også
- Kombinatorisk analyse
- Kombinatoriske analyseøvelser
- Permutasjon: enkel og med repetisjon
- Ordning i matematikk: hva det er, hvordan regne ut, eksempler
- 27 Grunnleggende matematikkøvelser
- Kombinasjon i matematikk: hvordan regne og eksempler
- Sannsynlighetsøvelser
- Sannsynlighet
