En ligning er eksponentiell når den ukjente (ukjente verdien) er i eksponenten til en potens. En matematisk setning som involverer likhet mellom to ledd, der det ukjente forekommer i minst én eksponent, kalles altså en eksponentiell ligning.
En potens er resultatet av produktet av basen i seg selv, så mange ganger som bestemt av eksponenten.
I en eksponentiell ligning bestemmer vi hvor mange faktorer som multipliseres, det vil si hvor mange ganger basen multipliseres, for å få et bestemt resultat.
Definisjon av eksponentiell ligning:
Hvor:
b er basen;
x er eksponenten (ukjent);
a er kraften.
På hva Det er
.
Eksempel på en eksponentiell ligning:
Den ukjente variabelen er i eksponenten. Vi må bestemme hvor mange ganger 2 skal multipliseres for å resultere i 8. Som 2. 2. 2 = 8, x = 3, da 2 må multipliseres tre ganger for å få 8 som resultat.
Hvordan løse eksponentialligninger
Eksponentiallikninger kan skrives på ulike måter og for å løse dem skal vi bruke like potenser med like grunner, som også må ha samme eksponenter.
Siden eksponentialfunksjonen er injektiv, har vi:
Dette betyr at to potenser med samme grunntall vil være like hvis og bare hvis eksponentene deres også er like.
Dermed er en strategi for å løse eksponentielle ligninger utjevne maktgrunnlaget. Når basene er de samme, kan vi eliminere dem og sammenligne eksponentene.
For å utjevne potensene i en eksponentiell ligning bruker vi matematiske verktøy som faktorisering og potenseringsegenskaper.
Eksempler på løsning av eksponentialligninger
Eksempel 1
Det er en eksponentiell ligning, da setningen innebærer en likhet (ligning) og den ukjente variabelen x er i eksponenten (eksponentiell).
For å bestemme verdien av den ukjente x, setter vi likhetstegn mellom grunnene til potensene ved å bruke faktoriseringen på 64.
64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 eller
Bytter inn i ligningen:
Vi ser bort fra basene, og etterlater bare likhet mellom eksponentene.
x = 6
Dermed er x = 6 resultatet av ligningen.
Eksempel 2
Vi likestiller basene ved å bruke faktorisering.
- 9 = 3. 3 =
- 81 = 3. 3. 3. 3 =
Bytter inn i ligningen:
Ved å bruke potensegenskapen til en potens multipliserer vi eksponentene på venstre side.
Med basene like, kan vi forkaste dem og være lik eksponentene.
Dermed er x = 1 resultatet av ligningen.
Eksempel 3
Vi transformerer basen 0,75 til en centesimal brøk.
Vi forenkler den centesimale brøken.
Vi faktor 9 og 16.
Ved å likestille basene har vi x = 2.
x = 2
Eksempel 4
Vi forvandler roten til en kraft.
Vi faktoriserer maktgrunnlaget.
Ved å multiplisere eksponentene blir vi lik basene.
Derfor må vi:
Eksempel 5
Factoring 25
Vi omskriver potensen 5² til x-en. Endre rekkefølgen på eksponenter.
Vi bruker en hjelpevariabel, som vi vil kalle y.
(behold denne ligningen, vi bruker den senere).
Bytter inn i forrige ligning.
Når vi løser den andregradsligningen, har vi:
Løsningssettet for kvadratisk ligning er {1, 5}, men dette er ikke løsningen på eksponentialligningen. Vi må gå tilbake til variabelen x ved å bruke
For y = 1:
For y = 5:
Løsningssettet for eksponentialligningen er S={0, 1}.
Lær mer om krefter:
- Potensering
- Potensering: hvordan regne, eksempler og øvelser
- Eksponentiell funksjon
For øvelser:
- 17 styrketreningsøvelser med kommentert mal
- Eksponentielle funksjonsøvelser (løst og kommentert)
ASTH, Rafael. Eksponentialligning.All Matter, [n.d.]. Tilgjengelig i: https://www.todamateria.com.br/equacao-exponencial/. Tilgang på:
Se også
- 27 Grunnleggende matematikkøvelser
- 17 styrketreningsøvelser med kommentert mal
- Strålingsøvelser
- Andregradsligning
- Eksponentiell funksjon - øvelser
- Planlegging av lineære systemer
- Enkel og sammensatt rente
- 11 øvelser om matrisemultiplikasjon