Til operasjoner med sett de er forening, skjæringspunkt og forskjell. Resultatet av hver av disse operasjonene er et nytt sett. For å indikere foreningen mellom settene bruker vi symbolet ∪; for krysset, symbolet ∩; og for forskjellen, symbolet på subtraksjon\(-\). Ved en forskjell er det viktig å observere rekkefølgen operasjonen skal utføres i. Med andre ord, hvis A og B er sett, er forskjellen mellom A og B forskjellig fra forskjellen mellom B og A.
Les også: Venn-diagram — geometrisk representasjon av sett og operasjoner mellom dem
Oppsummering av operasjoner med sett
Operasjoner med sett er: union, skjæring og forskjell.
Foreningen (eller møtet) av sett A og B er mengden A ∪ B, dannet av elementene som tilhører A eller tilhører B.
\(A∪B=\{x; x∈A\ eller\ x∈B\}\)
Skjæringspunktet mellom settene A og B er mengden A ∩ B, dannet av elementene som hører til A og tilhører B.
\(A∩B=\{x; x∈A\ og\ x∈B\}\)
Forskjellen mellom sett A og B er mengden A – B, dannet av elementene som tilhører A og ikke tilhører B.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Hvis U (kjent som universsettet) er et sett som inneholder alle settene i en gitt kontekst, kalles forskjellen U – A, med A ⊂ U, komplementet til A. Komplementet til A er dannet av elementer som ikke tilhører A og er representert av ENw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Videoleksjon om operasjoner med sett
Hva er de tre operasjonene med sett?
De tre operasjonene med sett er: forening, skjæringspunkt og forskjell.
Forening av sett
Sammenslutningen (eller møtet) av sett A og B er settet A ∪ B (les "Forbundet B"). Dette settet består av alle elementene som tilhører sett A eller tilhører sett B, det vil si elementer som tilhører minst ett av settene.
Ved å representere elementene i A ∪ B med x, skriver vi
\(A∪B=\{x; x∈A\ eller\ x∈B\}\)
På bildet nedenfor er den oransje regionen sett EN ∪B.
Det virker vanskelig? La oss se på to eksempler!
Eksempel 1:
Hva er mengden A ∪ B, hvis A = {7, 8} og B = {12, 15}?
Mengden A ∪ B er dannet av elementene som hører til A eller tilhører B. Siden elementene 7 og 8 tilhører mengden A, må begge tilhøre mengden A ∪ B. Videre, siden elementene 12 og 15 tilhører mengden B, må begge tilhøre mengden A ∪ B.
Derfor,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Merk at hvert av elementene i A∪B tilhører enten sett A eller sett B.
Eksempel 2:
Tenk på settene A = {2, 5, 9} og B = {1, 9}. Hva er mengden A ∪ B?
Siden elementene 2, 5 og 9 tilhører mengden A, så må de alle tilhøre mengden A∪B. Videre, siden elementene 1 og 9 tilhører mengden B, så må de alle tilhøre mengden A ∪ B.
Merk at vi nevnte 9 to ganger, da dette elementet tilhører sett A og sett B. Å si at "mengden A ∪ B er dannet av elementene som tilhører A eller tilhører B" utelukker ikke elementer som samtidig tilhører sett A og B.
Så i dette eksemplet har vi
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Merk at vi skriver element 9 bare én gang.
Kryss av sett
Skjæringspunktet mellom sett A og B er mengden A ∩ B (les "Skjæringspunktet B"). Dette settet består av alle elementene som tilhører sett A Det er tilhører sett B. Med andre ord, A ∩ B er sammensatt av de vanlige elementene i sett A og B.
Ved å angi elementene til A ∩ B med x, skriver vi
\(A∩B=\{x; x∈A\ og\ x∈B\}\)
På bildet nedenfor er den oransje regionen sett EN ∩B.
La oss løse to eksempler om skjæringspunktet mellom mengder!
Eksempel 1:
Tenk på A = {-1, 6, 13} og B = {0, 1, 6, 13}. Hva er mengden A ∩ B?
Mengden A ∩ B er dannet av alle elementene som tilhører mengden A Det er tilhører sett B. Merk at elementene 6 og 13 samtidig tilhører sett A og B.
Som dette,
A ∩ B={6, 13}
Eksempel 2:
Hva er skjæringspunktet mellom mengdene A = {0,4} og \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Merk at det ikke er noe element til felles mellom sett A og B. Dermed er skjæringspunktet et sett uten elementer, det vil si et tomt sett.
Derfor,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Forskjellen mellom settene
Forskjellen mellom sett A og B er settet A – B (les "forskjellen mellom A og B"). Dette settet består av alle elementer som tilhører sett A og ikke tilhører sett B.
Ved å fremstille elementene i A – B ved x, skriver vi
\(A-B=\{x; x∈A\ og\ x∉B\}\)
På bildet nedenfor er den oransje regionen settA – B.
Merk følgende: forskjellen mellom sett A og B er ikke forskjellen mellom sett B og A, fordi B – A er dannet av alle elementene som tilhører sett B og ikke tilhører sett A.
Tenk på de to eksemplene nedenfor om forskjeller mellom sett.
Eksempel 1:
Hvis A = {-7, 2, 100} og B = {2, 50}, hva er da mengden A – B? Hva med settet B – A?
SettetA-B består av alle elementene som tilhører settet A Det erNei tilhører sett B. Merk at 2 er det eneste elementet i sett A som også tilhører sett B. Dermed hører ikke 2 til settet A – B.
Derfor,
A – B = {-7, 100}
Videre er settet B – A dannet av alle elementene som tilhører settet B Det erNei tilhører sett A. Derfor,
B – A = {50}
Eksempel 2:
Hva er forskjellen mellom settet A = {–4, 0} og settet B = {–3}?
Merk at ingen av elementene i A tilhører B. Dermed er forskjellen A – B selve settet A.
\(A - B = \{-4.0\} = A\)
Observasjon: Tenk på at U (kalt universsettet) er et sett som inneholder alle andre sett i en gitt situasjon. Som dette, forskjellen U–A, med EN⊂U, er et sett som kalles komplementært til A og fremstilt som \(B.C\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
I det følgende bildet er rektangelet universsettet og det oransje området er universsettet \(B.C\).
Vite mer: Trinn for trinn hvordan du gjør en deling
Løste øvelser på settoperasjoner
Spørsmål 1
Tenk på mengdene A = {–12, –5, 3} og B = {–10, 0, 3, 7} og klassifiser hver påstand nedenfor som T (sann) eller F (usann).
JEG. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Riktig rekkefølge, fra topp til bunn, er
A) V-V-V
B) F-V-V
C) V-F-V
D) F-F-V
E) F-F-F
Vedtak
JEG. Falsk.
Element 0 må tilhøre foreningen av A og B, siden 0 ∈ B. Dermed A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Ekte.
III. Ekte.
Alternativ B.
Spørsmål 2
Tenk på A = {4, 5}, B = {6,7} og C = {7,8}. Deretter er mengden A ∪ B ∩ C
A) {7}.
B) {8}.
C) {7, 8}.
D) {6,7,8}.
E) {4, 5, 6, 7, 8}.
Vedtak
Legg merke til at A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Derfor er mengden A ∪ B ∩ C skjæringspunktet mellom A ∪ B = {4, 5, 6, 7} og C = {7,8}. Snart,
A ∪ B ∩ C = {7}
Alternativ A.
Kilder
LIMA, Elon L.. Analysekurs. 7 utg. Rio de Janeiro: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Videregående matematikk. 11. utg. Matematikklærersamling. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v.1.
