O avkortet kjeglevolum er plassen som denne runde kroppen tar. Siden tverrsnittet til en kjegle med radius R produserer en mindre kjegle med radius r og en avkortet kjegle, er volumene av disse tre faste stoffene relatert.
Les også: Hvordan beregne stammen til en pyramide
Sammendrag om volumet av den avkortede kjeglen
- En kjegle med radius R skjærer på tvers i høyden H av grunnplanet er delt inn i to geometriske faste stoffer: en kjegle med radius r Det er en stammekjegle.
- Hovedelementene i den avkortede kjeglen er høyden H, den minste bunnen av radius r og større base med radius R.
- Volumet til den avkortede kjeglen er forskjellen mellom volumet til kjeglen med radius R og volumet til kjeglen med radius r.
- Formelen for volumet til den avkortede kjeglen er:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
Videoleksjon om volumet til den avkortede kjeglen
Hva er elementene i den avkortede kjeglen?
Elementene til en avkortet kjegle dannet fra seksjonen av en høyre kjegle med radius R er:
- mindre base – radiusirkel r, oppnådd i seksjonen av kjeglen med radius R .
- større base – sirkulær base av kjeglen med radius R .
- Høyde (h) – avstand mellom planene til basene.
- Generatrise – segment med ender på omkretsene som avgrenser basene.
EN bildet nedenfor viser elementene i en avkortet kjegle. Legg merke til at moll- og hovedbasene er parallelle.
Trunk of Cone Volume Formula
La oss deretter utlede formelen for volumet til en høydeavstand H, mindre baseradius r og radius av den største basen R .
Tenk på at tverrsnittet til en kjegle med radius R og høyden H1 produserer to faste stoffer:
- en lynkjegle r og høyde H2 Det er
- en høy stammekjegle H .
innse det \(H_1=H_2+h\).
Volumet til kjeglen med radius R (som vi vil kalle den større kjeglen) vil bli representert av VR; volumet til radiuskjeglen r (som vi vil kalle den mindre kjeglen), av Vr; og volumet av den avkortede kjeglen ved Vt. Derfor:
\(V_R=V_r+V_t\)
Noter det:
- \( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
- \(V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)
Observasjon: VR og Vr er volumer av kjegler. For å se gjennom denne saken, klikk her.
Som dette:
\(V_R=V_r+V_t\)
\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)
\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
H2-leddet tilsvarer høyden på den mindre kjeglen. Ved å relatere høydene til kjeglene med de respektive radiene til basene, kan vi få en formel for volumet til stammen som bare avhenger av elementene i stammen (R, r Det er H).
Associering av radius og høyde til den større kjeglen (R og H1 ) med radius og høyde til den mindre kjeglen (r og H2), har vi følgende andel:
\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)
\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)
\(RH_2=rH_2+rh\)
\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)
Snart, vi kan omskrive trunkvolumet Vt følgende:
\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)
\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)
Som dette, Formelen for volumet til den avkortede kjeglen er:
\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)
Les også: Volumformler for forskjellige geometriske faste stoffer
Hvordan beregne volumet av den avkortede kjeglen?
For å beregne volumet til en avkortet kjegle, bare bytt ut målingene av høyden, radiusen til den mindre basen og radiusen til den større basen i formelen.
- Eksempel: Hva er volumet, i kubikkcentimeter, av en avkortet kjegle der radiusen til den største basen er R = 5 cm, radiusen til den mindre basen er r = 3 og høyden er h = 2 cm? (Bruk π=3 )
Ved å erstatte dataene i formelen har vi:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)
\(V_t=2⋅(49)\)
\(V_t=98 cm³\)
Løste øvelser på volumet av den avkortede kjeglen
Spørsmål 1
En potte har form av en avkortet kjegle med den største bunnradiusen R = 8 cm, den minste bunnradiusen r = 4 og høyden h = 2 cm. Volumet til denne potten, i cm³, er:
a) 48 pi
b) 64 pi
c) 112 pi
d) 448 pi
e) 1344 pi
Vedtak
Ved å erstatte dataene i formelen har vi:
\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)
\(V_t=4π⋅(112)\)
\(V_t=448 π\)
Alternativ D
spørsmål 2
(Enem 2021) En person kjøpte et krus for å drikke suppe, som illustrert.
Det er kjent at 1 cm³ = 1 mL og at toppen av kruset er en sirkel med diameter (D) som måler 10 cm, og basen er en sirkel med diameter (d) som måler 8 cm.
Videre er det kjent at høyden (h) på dette kruset måler 12 cm (avstand mellom midten av topp- og bunnsirklene).
Bruk 3 som en tilnærming for π.
Hva er den volumetriske kapasiteten, i milliliter, til dette kruset?
a) 216
b) 408
c) 732
d) 2196
e) 2928
Vedtak
Formen på kruset er en avkortet kjegle der toppen er den største basen. Også R=5, r = 4 cm og H = 12. Snart:
\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)
\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)
\(V_t=12⋅(61)\)
\(V_t=732 cm³\)
Siden 1 cm³ = 1 mL, har vi 732 cm³ = 732 mL.
Alternativ C
Kilder:
DANTE, L. R. Matematikk: kontekst og applikasjoner - Videregående skole. 3. utg. São Paulo: Attika, 2016. v.3.
DOLCE, O; POMPEO, J. Nei. Grunnleggende om elementær matematikk, Vol 10: Spatial Geometry - Posisjon og metrisk. 7 utg. Santos: Aktuell, 2013.
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-do-tronco-de-cone.htm
