sum og produkt Det er en metode som brukes til å finne løsningene til en ligning. Vi bruker summen og produktet som en metode for å beregne røttene til en 2. grads ligning, av typen ax² + bx + c = 0.
Dette er en interessant metode når løsningene av ligningen er hele tall. I tilfeller hvor løsningene ikke er heltall, kan det være ganske komplisert å bruke sum og produkt, med andre enklere metoder for å finne løsningene til ligningen.
Les også: Bhaskara - den mest kjente formelen for å løse andregradsligninger
Oppsummering om sum og produkt
- Summen og produktet er en av metodene som brukes for å finne løsningene til en komplett kvadratisk ligning.
- Ved summen og produktet, gitt ligningen til 2. grads ax² + bx + c = 0, har vi:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- x1 Det er x2 er løsningene av den andregradsligningen.
- a, b og c er koeffisientene til 2.gradsligningen.
Hva er sum og produkt?
Summen og produktet er en av metodene vi kan bruke for å finne løsningene til en ligning. Brukt i 2.gradsligninger kan summen og produktet være en mer praktisk metode for å finne løsningene av ligning, fordi den består i å lete etter tallene som tilfredsstiller summen og produktformelen for en gitt ligning.
Sum og produktformel
I en andregradsligning, av typen ax² + bx + c = 0, med løsninger lik x1 og x2, etter sum og produkt, har vi:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Hvordan beregne røtter ved hjelp av sum og produkt?
For å finne løsningene ser vi først etter heltallene hvis produkt er lik \(\frac{c}{a}\).
Vi vet at løsningene til ligningen kan være positive eller negative:
- Positivt produkt og positiv sum: begge røttene er positive.
- Positivt produkt og negativ sum: begge røttene er negative.
- Negativt produkt og positiv sum: en rot er positiv og den andre er negativ, og den med den største modulen er positiv.
- Negativt produkt og negativ sum: en rot er positiv og den andre er negativ, og den med den største modulen er negativ.
Senere, etter å ha listet opp alle produktene som tilfredsstiller ligningen, analyserer vi hvilken som tilfredsstiller ligningen. ligningen av summen, det vil si hva er de to tallene som tilfredsstiller ligningen av produktet og summen samtidig.
Eksempel 1:
Finn løsningene til ligningen:
\(x²-5x+6=0\)
Først vil vi erstatte i sum og produktformel. Vi har at a = 1, b = -5 og c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Siden sum og produkt er positive, er røttene positive. Ved å analysere produktet vet vi at:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Nå vil vi sjekke hvilke av disse resultatene som har en sum lik 5, som i dette tilfellet er:
\(2+3=5\)
Så, løsningene av denne ligningen er \(x_1=2\ og\ x_2=3\).
Eksempel 2:
Finn løsningene til ligningen:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Først erstatter vi summen og produktformelen. Vi har a = 1, b = 2 og c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Siden sum og produkt er negative, har røttene motsatte fortegn, og den med størst modul er negativ. Ved å analysere produktet vet vi at:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\venstre(-12\høyre)=-24\)
\(3\cdot\venstre(-8\høyre)=-24\)
\(4\cdot\venstre(-6\høyre)=-24\)
La oss nå sjekke hvilke av disse resultatene som har en sum lik -2, som i dette tilfellet er:
\(4+\venstre(-6\høyre)=-2\)
Så, løsningene av denne ligningen er \(x_1=4\ og\ x_2=-6\) .
Les også: Hvordan løse en ufullstendig andregradsligning
Løste øvelser om sum og produkt
Spørsmål 1
være y Det er z røttene til ligning 4x2-3x-1=0, verdien av 4(y+4)(z+4) é:
A) 75
B) 64
C) 32
D) 18
E) 16
Vedtak:
Alternativ A
Beregning etter sum og produkt:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Så vi må:
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+4\venstre (y+z\høyre)+16\høyre )\)
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ Ikke sant)\)
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+3+16\høyre)\)
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=4\venstre(-\frac{1}{4}+19\høyre)\)
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=4\venstre(\frac{76-1}{4}\høyre)\)
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\venstre (y+4\høyre)\venstre (z+4\høyre)=75\)
spørsmål 2
Med tanke på ligningen 2x2 + 8x + 6 = 0, la S være summen av røttene til denne ligningen og P være produktet av røttene til ligningen, så verdien av operasjonen (S - P)2 é:
A) 36
B) 49
C) 64
D) 81
E) 100
Vedtak:
Alternativ B
Beregning etter sum og produkt:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Så vi må:
\(\venstre(-4-3\høyre)^2=\venstre(-7\høyre)^2=49\)
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm