EN identitetsmatrise er en spesiell type hovedkvarter. Vi kjenner som identitetsmatrise In kvadratmatrisen av orden n som har alle ledd på diagonalen lik 1 og ledd som ikke tilhører hoveddiagonalen lik 0. Identitetsmatrisen regnes som det nøytrale elementet i multiplikasjon, det vil si hvis vi multipliserer en matrise M ved identitetsmatrisen finner vi som et resultat selve matrisen M.
Se også: Hva er determinanten for en matrise?
Sammendrag om identitetsmatrise
Identitetsmatrisen er den kvadratiske matrisen med elementer på hoveddiagonalen lik 1 og med de andre elementene lik 0.
Det er identitetsmatriser av ulik rekkefølge. Vi representerer ordens identitetsmatris n av I n.
Identitetsmatrisen er det nøytrale elementet i matrisemultiplikasjon, det vil si, \(A\cdot I_n=A.\)
Produktet av en kvadratisk matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.
Hva er identitetsmatrise?
Identitetsmatrisen er en spesiell type kvadratisk matrise. En kvadratisk matrise er kjent som en identitetsmatrise hvis den har alle elementer på hoveddiagonalen lik 1 og alle andre elementer lik 0. Så, i hver identitetsmatrise:
➝ Identitetsmatrisetyper
Det er identitetsmatriser av ulik rekkefølge. rekkefølgen n er representert ved In. La oss se nedenfor noen matriser av andre bestillinger.
Bestill 1 identitetsmatrise:
\(I_1=\venstre[1\høyre]\)
Bestilling 2 identitetsmatrise:
\(I_2=\venstre[\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestilling 3 identitetsmatrise:
\(I_3=\venstre[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestilling 4 identitetsmatrise:
\(I_4=\venstre[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Bestilling 5 identitetsmatrise:
\(I_5=\venstre[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Suksessivt kan vi skrive identitetsmatriser av forskjellige rekkefølger.
Identitetsmatriseegenskaper
Identitetsmatrisen har en viktig egenskap, siden den er det nøytrale elementet i multiplikasjonen mellom matrisene. Dette betyr at enhver matrise multiplisert med identitetsmatrisen er lik seg selv. Altså gitt matrisen M av orden n,vi har:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
En annen viktig egenskap ved identitetsmatrisen er at produkt av en kvadratisk matrise og dens invers matrise er identitetsmatrisen. Gitt en kvadratisk matrise M av orden n, produktet av M ved sin inverse er gitt av:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Les også: Hva er en trekantet matrise?
Multiplikasjon av identitetsmatrisen
Når vi multipliserer en matrise M med identitetsmatrisen av orden n, får vi matrisen M som et resultat. La oss se nedenfor et eksempel på produktet av matrisen M av orden 2 ved identitetsmatrisen av orden 2.
\(A\ =\ \left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrise}\right) \) Det er \(I_n=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)
Antar at:
\(A\cdot I_n=B\)
Vi har:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right)\)
Så produktet av A ved \(I\) det blir:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Merk at vilkårene i matrise B er identiske med vilkårene i matrise A, det vil si:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]=A\)
Eksempel:
Å være M Matrisen \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\), beregne produktet mellom matrisen M og matrisen \(I_3\).
Vedtak:
Når vi utfører multiplikasjonen, har vi:
\(M\cdot I_3=\venstre[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\ 0&1&0\\0&0&1\\\end{matrise}\right]\)
\(M\cdot I_3=\venstre[\begin{matrise}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1 \ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot0+4\cdot0+0\cdot1\\2\cdot\ 1\ +\ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 5\cdot1+3\cdot0&2\cdot0+5\cdot0+3\cdot1\\-3\cdot1+\venstre(-2\høyre)\cdot0+1\cdot0&-3\cdot0+\venstre(-2\høyre)\ cdot1+1\cdot0&-3\cdot0+\left(-2\right)\cdot0+1\cdot1\\\end{matrise}\right]\)
\(M\cdot I_3=\venstre[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\)
Løste øvelser på identitetsmatrise
Spørsmål 1
Det er en kvadratisk matrise av orden 3 som er definert av \(a_{ij}=1 \) når \(i=j\) Det er \(a_{ij}=0\) Det er når \(i\neq j\). Denne matrisen er som:
EN) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrise}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
OG) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Vedtak:
Alternativ D
Ved å analysere matrisen har vi:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Så matrisen er lik:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
spørsmål 2
(UEMG) Hvis den inverse matrisen av \(A=\venstre[\begin{matrix}2&3\\3&x\\\end{matrix}\right]\) é \( \left[\begin{matrix}5&-3\\-3&2\\\end{matrix}\right]\), verdien av x er:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Vedtak:
Alternativ A
Ved å multiplisere matrisene innser vi at produktet deres er lik identitetsmatrisen. Ved å beregne produktet av den andre raden i matrisen etter den første kolonnen av dens inverse, har vi:
\(3\cdot5+x\cdot\venstre(-3\høyre)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm
