Progressions: hva er de, typer, formler, eksempler

Vi vet hvordan progresjon spesielle tilfeller av tallsekvenser. Det er to tilfeller av progresjon:

• aritmetisk progresjon

• geometrisk progresjon

For å være en progresjon, må vi analysere egenskapene til sekvensen for om det er det vi kaller en grunn. når progresjonen er aritmetikk, årsaken er ikke mer enn en konstant som vi legger til et begrep for å finne etterfølgeren i sekvensen; nå, når du jobber med en progresjon geometrisk, fornuft har en lignende funksjon, bare i dette tilfellet er grunn det konstante begrepet som vi multipliserer et begrep i sekvensen for å finne etterfølgeren.

På grunn av forutsigbar oppførsel av en progresjon, er det spesifikke formler for å finne et hvilket som helst begrep i disse sekvensene, og det er også mulig å utvikle en formel for hver av dem (det vil si en for den aritmetiske progresjonen og en for den geometriske progresjonen) for å beregne summen FraNei første termer av denne progresjonen.

Les også: Funksjoner - hva er de og hva er de til?

Mengden bønner per innhøsting oppfører seg som en geometrisk progresjon

nummerrekkefølge

For å forstå hva progresjon er, må vi først forstå hva de er tallsekvenser. Som navnet antyder, kjenner vi tallsekvensen a sett med tall som respekterer en ordre, er godt definert eller ikke. i motsetning til settene numerics der orden ikke betyr noe, i en numerisk sekvens, er orden viktig, for eksempel:

Sekvensen (1, 2, 3, 4, 5) er forskjellig fra (5, 4, 3, 2, 1), som er forskjellig fra sekvensen (1, 5, 4, 3, 2). Selv om elementene er de samme, ettersom rekkefølgen er forskjellig, så har vi forskjellige sekvenser.

Eksempler:

Vi kan skrive sekvenser hvis formasjoner er enkle å se:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → rekkefølgen på partall som er mindre enn eller lik 12.

b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → regressiv sekvens av oddetall fra 17 til 5.

c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → kjent som Fibonacci-sekvens.

d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 ...) → selv om det ikke er mulig å beskrive denne sekvensen som de andre, er det lett å forutsi hva de neste vilkårene vil være.

I andre tilfeller sekvensene kan ha total tilfeldighet i verdienei alle fall å være en sekvens, det som betyr noe er å ha et sett med ordnede verdier.

til 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Så mye som det ikke er mulig å forutsi hvem de neste begrepene i bokstaven b er, jobber vi fortsatt med en oppfølger.

Generelt, strenger er alltid representert i parentes (), på følgende måte:

(De₁, a₂,De₃, a₄,De₅, a₆, a₇, a₈ ...) → uendelig rekkefølge

(De₁, a₂,De₃, a₄,De₅, a₆, a₇, a₈... a_Nei) → endelig sekvens

I begge har vi følgende representasjon:

De₁ → første periode

De₂ → andre periode

De₃ → tredje periode

.

.

.

De_Nei → 9. termin

Observasjon: Det er veldig viktig at dataene er gjengitt i parentes når de representerer en sekvens. Sekvensnotasjon forveksles ofte med settnotasjon. Et sett er representert i seler, og i settet er ikke rekkefølgen viktig, noe som gjør hele forskjellen i dette tilfellet.

(1, 2, 3, 4, 5) → sekvens

{1, 2, 3, 4, 5} → sett

Det er spesielle tilfeller av sekvens som er kjent som progresjon.

Se også: Hva er det grunnleggende prinsippet for telling?

Hva er progresjon?

En sekvens er definert som en progresjon når den har en regelmessighet fra ett begrep til et annet, kjent som grunn. Det er to tilfeller av progresjon, aritmetisk progresjon og geometrisk progresjon. For å vite hvordan vi kan skille hver av dem, må vi forstå hva grunnen til en progresjon er, og hvordan den grunnen samhandler med vilkårene i sekvensen.

Når jeg fra en periode til den andre i sekvensen har en konstant sum, er denne sekvensen definert som en progresjon, og i dette tilfellet er det en aritmetisk progresjon. Denne verdien som vi hele tiden legger til, er kjent som forholdet. Det andre tilfellet, det vil si når sekvensen er en geometrisk progresjon, fra ett begrep til et annet er det en multiplikasjon med en konstant verdi. Analogt er denne verdien forholdet mellom den geometriske progresjonen.

Eksempler:

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 ...) → legg merke til at vi alltid legger til 3 fra det ene begrepet til det andre, så vi har en aritmetisk progresjon av forholdet lik 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000 ...) → i dette tilfellet multipliserer vi alltid med 10 fra det ene begrepet til det andre, og har å gjøre med en geometrisk progresjon av forholdet 10.

c) (0, 2, 8, 26 ...) → i sistnevnte tilfelle er det bare en sekvens. For å finne neste periode multipliserer vi begrepet med 3 og legger til 2. Denne saken, selv om det er en regelmessighet for å finne de neste begrepene, er det bare en sekvens, ikke en regning eller geometrisk progresjon.

aritmetisk progresjon

Når vi jobber med tallsekvenser, er de sekvensene der vi kan forutsi deres neste vilkår ganske tilbakevendende. For at denne sekvensen skal klassifiseres som en aritmetisk progresjon, det må være en grunnen til en. Fra første periode er neste periode konstruert av summen av forrige periode med årsaken r.

Eksempler:

a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Dette er en sekvens som kan klassifiseres som aritmetisk progresjon, fordi årsaken r = 3 og første periode er 4.

b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 ...)

Denne sekvensen er en aritmetisk progresjon med god grunn. r = -5, og dens første periode er 7.

• Vilkår for en PA

I mange tilfeller er vår interesse å finne et bestemt begrep i progresjonen, uten å måtte skrive hele sekvensen. Å vite verdien av det første begrepet og forholdet, er det mulig å finne verdien av et hvilket som helst begrep i en aritmetisk progresjon. For å finne vilkårene for en arimetisk progresjon, bruker vi formelen:

De_Nei = den₁+ (n - 1) r

Eksempel:

Finn den 25. termen til en P.A hvis forhold er 3 og første termin er 12.

Data r = 3, den₁ = 12. Vi vil finne det 25. begrepet, det vil si n = 25.

De_Nei = den₁+ (n - 1) r

De₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

De₂₅ = 12 + 24 · 3

De₂₅ = 12 + 72

De₂₅ = 84

• Generell periode for en P.A.

Den generelle begrepsformelen er en måte å forenkle formelen på et AP-begrep for å finne en hvilken som helst progresjonsperiode raskere. Når den første termen og årsaken er kjent, er det nok å i formelen erstatte et begrep av en P.A. for å finne den generelle termen for den aritmetiske progresjonen, som bare avhenger av verdien av Nei.

Eksempel:

Finn den generelle betegnelsen på en P.A. som har r = 3 og₁ = 2.

De_Nei = 2 + (n -1) r

De_Nei = 2 + (n -1) 3

De_Nei = 2 + 3n - 3

De_Nei = 2n - 1

Dette er den generelle betegnelsen på en P.A., som tjener til å finne ethvert begrep i denne progresjonen.

• Summen av vilkårene for en PA

DE summen av vilkårene for en PA Det ville være ganske arbeidskrevende hvis det var nødvendig å finne hvert av begrepene og legge dem sammen. Det er en formel for å beregne summen av alle Nei første termer av en aritmetisk progresjon:

Eksempel:

Finn summen av alle oddetall fra 1 til 100.

Vi vet at oddetall er en aritmetisk progresjon av forholdet 2: (1, 3, 5, 7… 99). I denne progresjonen er det 50 termer, siden, fra 1 til 100, er halvparten av tallene jevne og den andre halvdelen er merkelig.

Derfor må vi:

n = 50

De₁ = 1

De_Nei = 99

Også tilgang: 1. grads funksjon - praktisk bruk av regningsprogresjon

Geometrisk progresjon

En streng kan også klassifiseres som progresjon geometrisk (PG). For at en sekvens skal være en geometrisk progresjon, må den ha en grunn, men i dette tilfellet, for å finne neste termin fra første periode, utfører vi multiplikasjon av forholdet med forrige periode.

Eksempler:

a) (3, 6, 12, 24, 48 ...) → Geometrisk progresjon av forhold 2, og dens første sikt er 3.

b) (20, 200, 2000, 20 000 ...) → Geometrisk progresjon av forhold 10, og dens første sikt er 20.

• Betegnelse på en PG

I en geometrisk progresjon representerer vi årsaken til bokstaven hva. Begrepet for en geometrisk progresjon finner du med formelen:

De_Nei = den₁ · hva^{n - 1}

Eksempel:

Finn den 10. perioden av en PG, vel vitende om det hva = 2 og₁ = 5.

De_Nei = den₁ · hva^{n - 1}

De₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

De₁₀ = 5 · 2⁹

De₁₀ = 5 · 512

De₁₀ = 2560

• Generell periode for en PG

Når vi kjenner den første termen og årsaken, er det mulig å generere den generelle termformelen fra en geometrisk progresjon som utelukkende avhenger av verdien av Nei. For å gjøre dette trenger vi bare å erstatte den første termen og forholdet, og vi vil finne en ligning som bare avhenger av verdien av Nei.

Ved å bruke det forrige eksemplet, der forholdet er 2 og første periode er 5, er den generelle betegnelsen for denne fastlegen:

De_Nei = den₁ · hva^{n - 1}

De_Nei = 5 · 2^{n - 1}

• Summen av vilkårene for en PG

Å legge til alle vilkårene for en progresjon ville være mye arbeid. I mange tilfeller er det tidkrevende å skrive hele sekvensen for å oppnå denne summen. For å lette denne beregningen har den geometriske progresjonen en formel som tjener til å beregne summen av Nei første elementer av en endelig PG:

Eksempel:

Finn summen av de 10 første begrepene til fastlegen (1, 2, 4, 8, 16, 32 ...).

Merk at forholdet mellom denne PG er lik 2.

De₁ = 1

hva = 2

Nei = 10

Les også: Eksponensiell funksjon - praktisk bruk av geometrisk progresjon

løste øvelser

Spørsmål 1 - En bestemt bakteriekultur observeres i noen dager av forskere. En av dem analyserer veksten av denne befolkningen, og han la merke til at den første dagen var det 100 bakterier; i det andre 300 bakterier; i den tredje 900 bakterier, og så videre. Når vi analyserer denne sekvensen, kan vi si at den er:

A) en aritmetisk progresjon av grunn 200.

B) en geometrisk progresjon av forholdet 200.

C) en arimetisk progresjon av grunn 3.

D) en geometrisk progresjon av forholdet 3.

E) en sekvens, men ikke en progresjon.

Vedtak

Alternativ D.

Når vi analyserer sekvensen, har vi ordene:

Merk at 900/300 = 3, samt 300/100 = 3. Derfor jobber vi med en PG på forholdet 3, ettersom vi multipliserer med tre fra første periode.

Spørsmål 2 - (Enem - PPL) For en løpende nybegynner ble følgende treningsplan fastsatt: løp 300 meter den første dagen og øk 200 meter per dag fra den andre. For å telle prestasjonene vil han bruke en brikke, festet til joggesko, for å måle avstanden som tilbys på trening. Tenk på at denne brikken lagrer, i hukommelsen, maksimalt 9,5 km løp / gange, og må plasseres i begynnelsen av treningen og kastes etter å ha brukt opp plassen til datareserve. Hvis denne atleten bruker brikken fra den første treningsdagen, i hvor mange dager på rad vil denne brikken kunne lagre kjørelengden til den daglige treningsplanen?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 12

E) 13

Vedtak

Alternativ B.

Når vi analyserer situasjonen, vet vi at vi har en PA med en begrunnelse på 200 og en innledende avslutning lik 300.

Videre vet vi at summen S_Nei = 9,5 km = 9500 meter.

Med disse dataene, la oss finne begrepet a_Nei, som er antall kilometer registrert den siste lagringsdagen.

Det er også verdt å huske at ethvert begrep a_Nei kan skrives som:

De_Nei = den₁ + (n - 1)r

Gitt ligningen 200n² + 400n - 19000 = 0, kan vi dele alle termer med 200, forenkle ligningen og finne: n² + 2n - 95 = 0.

For delta og Bhaskara må vi:

a = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Vi vet at 8,75 tilsvarer 8 dager og noen timer. I dette tilfellet er antall dager hvor målingen kan utføres 8.

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer

Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm