Blant måtene å finne den numeriske verdien på x, er en prosess også kjent som finn røttene til en ligning eller finn løsningen på en ligning, skille seg ut: Bhaskara formel det er prosess med å fullføre firkanter. Sistnevnte er fokus for dagens tekst.
Antall løsninger på en ligning er gitt av graden. Derfor har førstegradsligninger bare en løsning, tredjegradsligninger har tre løsninger, og kvadratiske ligninger har to løsninger, også kalt røtter..
Andregrads ligninger, i redusert form, kan skrives som følger:
øks2 + bx + c = 0
kvadratisk fullføringsmetode
I så fall er den kvadratiske ligningen et perfekt kvadratisk trinom
Andregrads ligninger som følge av et bemerkelsesverdig produkt er kjent som perfekt firkantet trinomial. For å finne røttene vil vi bruke metoden som er eksemplifisert nedenfor:
Eksempel: Beregn røttene til x-ligningen2 + 6x + 9 = 0.
Merk at koeffisienten b er 6 = 2 · 3. For å skrive det i form av et bemerkelsesverdig produkt, bare sjekk om c = 32, som er sant, siden 32 = 9 = c. På denne måten kan vi skrive:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Merk at et bemerkelsesverdig produkt er produktet mellom to like polynomer. I tilfelle av denne ligningen vil vi ha:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Et produkt er bare lik null når en av faktorene er lik null. Derfor, for (x + 3) (x + 3) = 0, er det nødvendig at (x + 3) = 0 eller (x + 3) = 0. Derav de to like resultatene for x-ligningen2 + 6x + 9 = 0, som er: x = - 3 eller x = - 3.
Kort oppsummert: for å løse x-ligningen2 + 6x + 9 = 0, skriv:
x2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 eller x = - 3
I så fall er den kvadratiske ligningen ikke et perfekt kvadratisk trinomial
En ligning av den andre der koeffisient b og koeffisient c ikke oppfyller forholdene etablert ovenfor, er ikke et perfekt kvadratisk trinomium. I dette tilfellet kan løsningsmetoden fremhevet ovenfor brukes med tillegg av noen få trinn. Legg merke til følgende eksempel:
Eksempel: Beregn røttene til x-ligningen2 + 6x - 7 = 0.
Merk at denne ligningen ikke er et perfekt kvadratisk trinomial. For at det skal være, kan vi bruke følgende operasjoner:
Merk at b = 2 · 3, så i det første medlemmet er uttrykket som skal vises x2 + 6x + 9, fordi i dette uttrykket er b = 2 · 3 og c = 32.
For denne "transformasjonen", legg til 32 på de to medlemmene av denne ligningen, "overfør" 7 til det andre medlemmet, utfør de mulige operasjonene og observer resultatene:
x2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
x2 + 6x + 32 = 32 + 7
x2 + 6x + 9 = 9 + 7
x2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 eller x + 3 = - 4
Dette siste trinnet må deles i to ligninger, da roten til 16 enten kan være 4 eller - 4 (dette skjer bare i ligninger. Hvis du blir spurt hva roten til 16 er, er svaret bare 4). Så det er nødvendig å finne alle mulige resultater. Fortsetter:
x + 3 = 4 eller x + 3 = - 4
x = 4 - 3 eller x = - 4 - 3
x = 1 eller x = - 7
I så fall er koeffisienten "a" ikke lik 1
De tidligere tilfellene er ment for kvadratiske ligninger der koeffisienten "a" er lik 1. Hvis koeffisienten "a" er forskjellig fra 1, er det bare å dele hele ligningen med verdien "a" og fortsette med beregningene på samme måte som i forrige tilfelle.
Eksempel: Beregn 2x røtter2 + 16x - 18 = 0
Merk at a = 2. Så del hele ligningen med 2 og forenkle resultatene:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
x2 + 8x - 9 = 0
Når dette er gjort, gjenta prosedyrene i forrige sak.
x2 + 8x - 9 = 0
x2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
x2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 eller x + 4 = –5
x = 5 - 4 eller x = - 5 - 4
x = 1 eller x = - 9
Bemerkelsesverdige produkter og andregradsligninger: Opprinnelsen til Square Completion Method
Kvadratiske ligninger er omtrent som de bemerkelsesverdige produktene sum kvadrat og kvadrat av forskjellen.
Summen i kvadrat er for eksempel en sum av to monomater i kvadrat. Se:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Det første medlemmet av ovennevnte likhet er kjent som bemerkelsesverdig produkt og det andre hvordan perfekt firkantet trinomial. Sistnevnte er veldig lik en ligning av andre grad. Se:
Perfekt kvadratisk trinomial: x2 + 2kx + k2
Andregrads ligning: øks2 + bx + c = 0
På den måten, hvis det er noen måte å skrive en kvadratisk ligning som et bemerkelsesverdig produkt, kanskje er det også en måte å finne resultatene uten å måtte bruke formelen Bhaskara.
For å gjøre dette, merk deg at a = 1, b = 2 · k og c = k i det bemerkelsesverdige produktet ovenfor2. På denne måten er det mulig å skrive ligninger som oppfyller disse kravene i form av et bemerkelsesverdig produkt.
Så se på koeffisientene i ligningen. Hvis “a” er forskjellig fra 1, dividerer du hele ligningen med verdien av “a”. Ellers observer koeffisienten “b”. Den numeriske verdien på halvparten av denne koeffisienten må være lik den numeriske verdien av kvadratroten til koeffisienten "c". Matematisk gitt ligningen øks2 + bx + c = 0, hvis a = 1 og i tillegg:
B = c
2
Så du kan skrive denne ligningen som følger:
øks2 + bx + c = (x + B) = 0
2
Og dens røtter vil være - B og + b.
2 2
Derav all teorien som brukes til å beregne røtter til kvadratiske ligninger ved hjelp av metoden for å fullføre firkanter.
Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm
