Intern bisektorteorem: hva er det, bevis

DE Den interne bisektorteoremet ble utviklet spesielt for trekanter og viser at når vi sporer den indre halveringslinjen til en vinkel i trekanten, deler møtepunktet for halveringslinjen med siden motsatt den den siden i linjesegmenter proporsjonal med de tilstøtende sidene av den vinkelen. Med anvendelse av den interne halveringslinjen det er mulig å bestemme verdien av siden eller segmentene i trekanten ved å bruke proporsjonen mellom dem.

Se også: Median, vinkelhalveringslinje og høyde på en trekant - hva er forskjellen?

Sammendrag om den indre halveringslinjen:

  • Halvlederen er en stråle som deler vinkelen i to kongruente vinkler.

  • Den indre halveringslinjen er spesifikk for trekanter.

  • Denne teoremet beviser at halveringslinjen deler motsatt side inn i proporsjonale segmenter til sidene ved siden av vinkel.

Videoleksjon om den interne halveringslinjen

Hva er halveringsteoremet?

Før vi forstår hva den indre halveringslinjen sier, er det viktig å vite hva som er halveringslinje for en vinkel. Det er en stråle som deler vinkelen i to kongruente deler., altså to deler som har samme mål.

Halvlinje for en vinkel A angitt i oransje.
Avgrensning av halveringslinjen AD til en vinkel.

Når vi forstår hva halveringslinjen er, legger vi merke til at den eksisterer i den indre vinkelen til en trekant. Når vi avgrenser halveringslinjen til en vinkel i trekanten, vil den dele den motsatte siden i to segmenter. Når det gjelder den indre halveringslinjen, teoremet sier at de to segmentene delt på den er proporsjonale med de tilstøtende sidene av vinkelen.

 Trekant ABC i beige farge med oransje kanter og vinkel angitt i grønt sporet av en halveringslinje BD.

Legg merke til at halveringslinjen deler siden AC i to segmenter, AD og DC. Bisektorsetningen viser det:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

Vite mer: Pythagoras teorem - en annen teorem utviklet for trekanter

Bevis for den indre halveringslinjen

I trekant ABC nedenfor vil vi avgrense segmentet BD, som er halveringslinjen til denne trekanten. Videre vil vi spore forlengelsen av dens side CB og segmentet AE, parallelt med BD:

ABC-trekant i beige farge med halveringslinje BD og forlengelse AEB

Vinkel AEB er kongruent med vinkel DBC, fordi CE er en rett på tvers av de parallelle segmentene AE og BD.

å bruke Thales' teorem, konkluderte vi med at:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Nå vi det gjenstår å vise at BE = AB.

Siden x er målet for vinkelen ABD og DBC, ved å analysere vinkelen ABE, får vi:

ABE = 180 - 2x

Hvis y er målet for vinkel EAB, har vi følgende situasjon:

ABC-trekant i beige, med halveringslinje BD, forlengelse AEB og vinkler med ukjent i forlengelsen.

Vi vet at summen av de indre vinklene til trekanten ABE er 180°, så vi kan beregne:

180 - 2x + x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Hvis vinkel x og vinkel y har samme mål, er trekant ABE likebent. Derfor er siden AB = AE.

Siden summen av de indre vinklene til en trekant alltid er lik 180°, har vi i trekant ACE:

x + 180 - 2x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Siden y = x, er trekanten ACE likebenet. Derfor er segmentene AE og AC kongruente. Bytte AE for AC inn grunnen til, er det bevist at:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Eksempel:

Finn verdien av x i følgende trekant:

Hvit trekant ABC, med sidene 6, 8 og 3 + x, med halveringslinjen BD tegnet.

Ved å analysere trekanten får vi følgende forhold:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

Kryssmultiplikasjon:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

x = 4

Les også: Bemerkelsesverdige punkter i en trekant - hva er de?

Løste øvelser på den indre halveringslinjen

Spørsmål 1

Ser vi på trekanten nedenfor, kan vi si at verdien av x er:

 Hvit trekant ABC, med sider på 27, 30 og 18, med halveringslinje BD tegnet.

a) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Vedtak:
Alternativ D

Ved å bruke den interne halveringslinjen får vi følgende beregning:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

Kryssmultiplikasjon:

\(27x=18\ \venstre (30-x\høyre)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

spørsmål 2

Analyser følgende trekant, vel vitende om at målene dine ble gitt i centimeter.

 Hvit trekant ABC, med sider på 2x, 4x – 9 og 12 cm, med halveringslinje BD sporet.

Omkretsen til trekanten ABC er lik:

A) 75 cm

B) 56 cm

C) 48 cm

D) 24 cm

E) 7,5 cm

Vedtak:

Alternativ C

Ved å bruke halveringsteoremet vil vi først finne verdien av x:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \venstre (4x-9\høyre)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7,5\)

Dermed måler de ukjente sidene:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

Husker at måle lengde brukt var cm, den omkrets av denne trekanten er lik:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matte lærer

Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm

AI personlige assistenter: transformerer liv og virksomheter

AI personlige assistenter: transformerer liv og virksomheter

Den økende bekymringen om potensielle trusler som Kunstig intelligens (AI) kunne bringe til menne...

read more
Alle med førerkort kategori B vil snart kunne benytte seg av en ny funksjon; Sjekk ut

Alle med førerkort kategori B vil snart kunne benytte seg av en ny funksjon; Sjekk ut

Innføringen av lovforslag (PL) 3,942/2020, ledet av føderal stedfortreder Marcio Alvino (PL-SP), ...

read more
Enem-redaksjonen: finn ut hvilke temaer som ble mest diskutert de siste tiårene

Enem-redaksjonen: finn ut hvilke temaer som ble mest diskutert de siste tiårene

Den nasjonale videregående eksamen (Og enten) er kjent for forfatterskapet sitt, som kan være et ...

read more