DE Den interne bisektorteoremet ble utviklet spesielt for trekanter og viser at når vi sporer den indre halveringslinjen til en vinkel i trekanten, deler møtepunktet for halveringslinjen med siden motsatt den den siden i linjesegmenter proporsjonal med de tilstøtende sidene av den vinkelen. Med anvendelse av den interne halveringslinjen det er mulig å bestemme verdien av siden eller segmentene i trekanten ved å bruke proporsjonen mellom dem.
Se også: Median, vinkelhalveringslinje og høyde på en trekant - hva er forskjellen?
Sammendrag om den indre halveringslinjen:
Halvlederen er en stråle som deler vinkelen i to kongruente vinkler.
Den indre halveringslinjen er spesifikk for trekanter.
Denne teoremet beviser at halveringslinjen deler motsatt side inn i proporsjonale segmenter til sidene ved siden av vinkel.
Videoleksjon om den interne halveringslinjen
Hva er halveringsteoremet?
Før vi forstår hva den indre halveringslinjen sier, er det viktig å vite hva som er halveringslinje for en vinkel. Det er en stråle som deler vinkelen i to kongruente deler., altså to deler som har samme mål.
Når vi forstår hva halveringslinjen er, legger vi merke til at den eksisterer i den indre vinkelen til en trekant. Når vi avgrenser halveringslinjen til en vinkel i trekanten, vil den dele den motsatte siden i to segmenter. Når det gjelder den indre halveringslinjen, teoremet sier at de to segmentene delt på den er proporsjonale med de tilstøtende sidene av vinkelen.
Legg merke til at halveringslinjen deler siden AC i to segmenter, AD og DC. Bisektorsetningen viser det:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Vite mer: Pythagoras teorem - en annen teorem utviklet for trekanter
Bevis for den indre halveringslinjen
I trekant ABC nedenfor vil vi avgrense segmentet BD, som er halveringslinjen til denne trekanten. Videre vil vi spore forlengelsen av dens side CB og segmentet AE, parallelt med BD:
Vinkel AEB er kongruent med vinkel DBC, fordi CE er en rett på tvers av de parallelle segmentene AE og BD.
å bruke Thales' teorem, konkluderte vi med at:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Nå vi det gjenstår å vise at BE = AB.
Siden x er målet for vinkelen ABD og DBC, ved å analysere vinkelen ABE, får vi:
ABE = 180 - 2x
Hvis y er målet for vinkel EAB, har vi følgende situasjon:
Vi vet at summen av de indre vinklene til trekanten ABE er 180°, så vi kan beregne:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Hvis vinkel x og vinkel y har samme mål, er trekant ABE likebent. Derfor er siden AB = AE.
Siden summen av de indre vinklene til en trekant alltid er lik 180°, har vi i trekant ACE:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Siden y = x, er trekanten ACE likebenet. Derfor er segmentene AE og AC kongruente. Bytte AE for AC inn grunnen til, er det bevist at:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Eksempel:
Finn verdien av x i følgende trekant:
Ved å analysere trekanten får vi følgende forhold:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Kryssmultiplikasjon:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Les også: Bemerkelsesverdige punkter i en trekant - hva er de?
Løste øvelser på den indre halveringslinjen
Spørsmål 1
Ser vi på trekanten nedenfor, kan vi si at verdien av x er:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Vedtak:
Alternativ D
Ved å bruke den interne halveringslinjen får vi følgende beregning:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Kryssmultiplikasjon:
\(27x=18\ \venstre (30-x\høyre)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
spørsmål 2
Analyser følgende trekant, vel vitende om at målene dine ble gitt i centimeter.
Omkretsen til trekanten ABC er lik:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Vedtak:
Alternativ C
Ved å bruke halveringsteoremet vil vi først finne verdien av x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \venstre (4x-9\høyre)=2x\cdot7\)
\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)
\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7,5\)
Dermed måler de ukjente sidene:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Husker at måle lengde brukt var cm, den omkrets av denne trekanten er lik:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm