Intern bisektorteorem: hva er det, bevis

DE Den interne bisektorteoremet ble utviklet spesielt for trekanter og viser at når vi sporer den indre halveringslinjen til en vinkel i trekanten, deler møtepunktet for halveringslinjen med siden motsatt den den siden i linjesegmenter proporsjonal med de tilstøtende sidene av den vinkelen. Med anvendelse av den interne halveringslinjen det er mulig å bestemme verdien av siden eller segmentene i trekanten ved å bruke proporsjonen mellom dem.

Se også: Median, vinkelhalveringslinje og høyde på en trekant - hva er forskjellen?

Sammendrag om den indre halveringslinjen:

  • Halvlederen er en stråle som deler vinkelen i to kongruente vinkler.

  • Den indre halveringslinjen er spesifikk for trekanter.

  • Denne teoremet beviser at halveringslinjen deler motsatt side inn i proporsjonale segmenter til sidene ved siden av vinkel.

Videoleksjon om den interne halveringslinjen

Hva er halveringsteoremet?

Før vi forstår hva den indre halveringslinjen sier, er det viktig å vite hva som er halveringslinje for en vinkel. Det er en stråle som deler vinkelen i to kongruente deler., altså to deler som har samme mål.

Halvlinje for en vinkel A angitt i oransje.
Avgrensning av halveringslinjen AD til en vinkel.

Når vi forstår hva halveringslinjen er, legger vi merke til at den eksisterer i den indre vinkelen til en trekant. Når vi avgrenser halveringslinjen til en vinkel i trekanten, vil den dele den motsatte siden i to segmenter. Når det gjelder den indre halveringslinjen, teoremet sier at de to segmentene delt på den er proporsjonale med de tilstøtende sidene av vinkelen.

 Trekant ABC i beige farge med oransje kanter og vinkel angitt i grønt sporet av en halveringslinje BD.

Legg merke til at halveringslinjen deler siden AC i to segmenter, AD og DC. Bisektorsetningen viser det:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)

Vite mer: Pythagoras teorem - en annen teorem utviklet for trekanter

Bevis for den indre halveringslinjen

I trekant ABC nedenfor vil vi avgrense segmentet BD, som er halveringslinjen til denne trekanten. Videre vil vi spore forlengelsen av dens side CB og segmentet AE, parallelt med BD:

ABC-trekant i beige farge med halveringslinje BD og forlengelse AEB

Vinkel AEB er kongruent med vinkel DBC, fordi CE er en rett på tvers av de parallelle segmentene AE og BD.

å bruke Thales' teorem, konkluderte vi med at:

\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Nå vi det gjenstår å vise at BE = AB.

Siden x er målet for vinkelen ABD og DBC, ved å analysere vinkelen ABE, får vi:

ABE = 180 - 2x

Hvis y er målet for vinkel EAB, har vi følgende situasjon:

ABC-trekant i beige, med halveringslinje BD, forlengelse AEB og vinkler med ukjent i forlengelsen.

Vi vet at summen av de indre vinklene til trekanten ABE er 180°, så vi kan beregne:

180 - 2x + x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Hvis vinkel x og vinkel y har samme mål, er trekant ABE likebent. Derfor er siden AB = AE.

Siden summen av de indre vinklene til en trekant alltid er lik 180°, har vi i trekant ACE:

x + 180 - 2x + y = 180

– x + y = 180 – 180

– x + y = 0

y = x

Siden y = x, er trekanten ACE likebenet. Derfor er segmentene AE og AC kongruente. Bytte AE for AC inn grunnen til, er det bevist at:

\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)

Eksempel:

Finn verdien av x i følgende trekant:

Hvit trekant ABC, med sidene 6, 8 og 3 + x, med halveringslinjen BD tegnet.

Ved å analysere trekanten får vi følgende forhold:

\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)

Kryssmultiplikasjon:

6x = 8 ⋅ 3

6x = 24

\(x=\frac{24}{6}\)

x = 4

Les også: Bemerkelsesverdige punkter i en trekant - hva er de?

Løste øvelser på den indre halveringslinjen

Spørsmål 1

Ser vi på trekanten nedenfor, kan vi si at verdien av x er:

 Hvit trekant ABC, med sider på 27, 30 og 18, med halveringslinje BD tegnet.

a) 9

B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

Vedtak:
Alternativ D

Ved å bruke den interne halveringslinjen får vi følgende beregning:

\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)

Kryssmultiplikasjon:

\(27x=18\ \venstre (30-x\høyre)\)

\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)

\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)

\(45x\ =\ 540\ \)

\(x=\frac{540}{45}\)

\(x\ =\ 12\)

spørsmål 2

Analyser følgende trekant, vel vitende om at målene dine ble gitt i centimeter.

 Hvit trekant ABC, med sider på 2x, 4x – 9 og 12 cm, med halveringslinje BD sporet.

Omkretsen til trekanten ABC er lik:

A) 75 cm

B) 56 cm

C) 48 cm

D) 24 cm

E) 7,5 cm

Vedtak:

Alternativ C

Ved å bruke halveringsteoremet vil vi først finne verdien av x:

\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)

\(5\ \venstre (4x-9\høyre)=2x\cdot7\)

\(20x\ -\ 45\ =\ 14x\)

\(20x\ -\ 14x\ =\ 45\ \)

\(6x\ =\ 45\ \)

\(x=\frac{45}{6}\)

\(x\ =\ 7,5\)

Dermed måler de ukjente sidene:

\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)

\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)

Husker at måle lengde brukt var cm, den omkrets av denne trekanten er lik:

P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm

Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matte lærer

Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm

Hovedbyene i Brasil. Byer som er omtalt i Brasil

Hovedbyene i Brasil. Byer som er omtalt i Brasil

Det brasilianske territoriet inneholder 26 stater og et føderalt distrikt. Hver stat har viktige ...

read more

Hva er glass? Kjemisk sammensetning av glass

Spørsmålet "Hva er glass?" kan referere til to hovedaspekter om dette materialet:(1) Dens kjemisk...

read more

Pop Art. Pop Art og manifestasjonene av massekultur

Kunstens sted har alltid vært et omfattende diskutert tema blant kritikere, kjennere, forskere o...

read more