An polynomligning er preget av å ha en polynom lik null. Det kan karakteriseres ved graden av polynomet, og jo større denne graden er, desto større er vanskelighetsgraden for å finne løsningen eller roten.
Det er også viktig i denne sammenhengen å forstå hva den grunnleggende teoremet til algebra er, som sier det hver polynomligning har minst én kompleks løsning, med andre ord: en ligning av grad én vil ha minst én løsning, en ligning av grad to vil ha minst to løsninger, og så videre.
Les også: Hva er klassene av polynomer?
Hva er en polynomligning
En polynomligning er karakterisert ved å ha et polynom lik null, og dermed hvert uttrykk av typen P(x) = 0 er en polynomligning, hvor P(x) er et polynom. Nedenfor er det generelle tilfellet av en polynomligning og noen eksempler.
VurderNei, an -1, a n -2, …, Den1, a0 og x reelle tall, og n er et positivt heltall, er følgende uttrykk en polynomligning av grad n.
- Eksempel
Følgende ligninger er polynomer.
a) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
b) 5x2 – 3 = 0
c) 6x – 1 = 0
d) 7x3 – x2 + 4x + 3 = 0
Som polynomer har polynomlikninger sin grad. For å bestemme graden av en polynomligning, finn bare den høyeste potensen hvis koeffisient er forskjellig fra null. Derfor er likningene til de foregående elementene henholdsvis:
a) Ligningen er fra fjerde grad:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
b) Ligningen er fra videregående skole:5x2 – 3 = 0.
c) Ligningen er fra første grad:6x – 1 = 0.
d) Ligningen er av Tredje grad: 7x3– x2 + 4x + 3 = 0.
Hvordan løser man en polynomligning?
Metoden for å løse en polynomligning avhenger av graden. Jo større grad en ligning er, desto vanskeligere er det å løse den. I denne artikkelen vil vi vise løsningsmetoden for polynomlikninger av første grad, andre grad og bisquare.
Polynomligning av første grad
En polynomligning av første grad er beskrevet av a grad 1 polynom. Så vi kan skrive en ligning av første grad, generelt, som følger.
Tenk på to reelle tall De og B med en ≠ 0, er følgende uttrykk en polynomligning av første grad:
ax + b = 0
For å løse denne ligningen må vi bruke ekvivalensprinsippet, det vil si at alt som drives på den ene siden av likestillingen skal også drives på den andre siden. For å bestemme løsningen av en ligning av første grad, må vi isolere det ukjente. For dette er det første trinnet å eliminere B på venstre side av likestillingen, og deretter trekke fraårer b på begge sider av likestillingen.
øks + b - B = 0 - B
øks = - b
Merk at verdien av den ukjente x ikke er isolert, koeffisienten a må elimineres fra venstre side av likheten, og for det, la oss dele begge sider med De.
- Eksempel
Løs ligningen 5x + 25 = 0.
For å løse problemet må vi bruke ekvivalensprinsippet. For å lette prosessen vil vi utelate skrivingen av operasjonen på venstre side av likestillingen, da tilsvarende å si at vi skal "passere" tallet til den andre siden, og endre tegnet (invers operasjon).
Lær mer om å løse denne typen ligninger ved å gå til teksten vår: Førstegradsligning med en ukjent.
Polynomligning av andre grad
En polynomligning av andre grad har karakteristikk av a grad to polynom. Så tenk på a, b og c reelle tall med a ≠ 0. En andregradsligning er gitt av:
øks2 + bx + c = 0
Din løsning kan bestemmes ved å bruke metoden til bhaskara eller ved faktorisering. Hvis du vil vite mer om ligninger av denne typen, les: Ekvhandling av ssekund grau.
→ Bhaskara-metoden
Ved å bruke Bhaskaras metode er røttene gitt av følgende formel:
- Eksempel
Finn løsningen av likningen x2 – 3x + 2 = 0.
Merk at koeffisientene til ligningen er henholdsvis a = 1, b = – 3 og c = 2. Ved å erstatte disse verdiene i formelen, må vi:
→ Faktorisering
Se at det er mulig å faktorisere uttrykket x2 – 3x + 2 = 0 ved å bruke ideen om polynom faktorisering.
x2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Legg merke til nå at vi har et produkt lik null, og et produkt er lik null bare hvis en av faktorene er lik null, så vi må:
x – 2 = 0
x = 2
eller
x - 1 = 0
x = 1
Se at vi fant løsningen på ligningen ved hjelp av to forskjellige metoder.
bi-kvadrat ligning
DE bisquare ligning det er en spesielt tilfelle av en polynomligning av fjerde grad, normalt vil en fjerdegradsligning skrives i formen:
øks4 + bx3 + boks2 + dx + e = 0
hvor tallene a B C D og og er reelle med en ≠ 0. En fjerdegradsligning betraktes som bisquare når koeffisientene b = d = 0, det vil si at ligningen har formen:
øks4 + boks2 + og = 0
Se, i eksemplet nedenfor, hvordan du løser denne ligningen.
- Eksempel
Løs x-ligningen4 – 10x2 + 9 = 0.
For å løse ligningen skal vi bruke følgende ukjente endring, og når ligningen er tokvadrat, skal vi gjøre den endringen.
x2 =p
Fra bi-kvadrat-ligningen, legg merke til at x4 = (x2)2 og derfor må vi:
x4 – 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
til2 – 10p + 9 = 0
Se at vi nå har en polynomligning av andre grad, og vi kan bruke Bhaskaras metode, slik:
Vi må imidlertid huske at det i begynnelsen av øvelsen ble gjort en ukjent endring, så vi må bruke verdien som er funnet i erstatningen.
x2 =p
For p = 9 har vi at:
x2 = 9
x' = 3
eller
x’’ = – 3
For p = 1
x2 = 1
x' = 1
eller
x’’ = – 1
Derfor er løsningssettet til biskvadratligningen:
S = {3, –3, 1, –1}
Les også: Briot-Ruffinis praktiske innretning – inndeling av polynomer
Algebras grunnleggende teorem (TFA)
Den grunnleggende teoremet til algebra (TFA), bevist av Gauss i 1799, sier at hver polynomligning som følger har minst én kompleks rot.
Roten til en polynomligning er løsningen dens, det vil si at den ukjente verdien er det som gjør likheten sann. For eksempel har en førstegradsligning en rot som allerede er bestemt, det samme har en andregradsligning, som har minst to røtter, og en bisquare, som har minst fire røtter.
løste øvelser
Spørsmål 1 – Bestem verdien av x som gjør likheten sann.
2x – 8 = 3x + 7
Vedtak
Merk at for å løse ligningen, er det nødvendig å organisere den, det vil si å la alle de ukjente være på venstre side av likheten.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Etter ekvivalensprinsippet kan vi multiplisere begge sider av likheten med samme tall, og siden vi ønsker å finne verdien av x, vil vi multiplisere begge sider med –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
spørsmål 2 – Marcos har 20 R$ mer enn João. Sammen klarer de å kjøpe to par joggesko, som koster R$80 hvert par og uten penger igjen. Hvor mange realer har John?
Vedtak
Anta at Markus har x reais, ettersom John har 20 reais mer, så har han x + 20.
Karakterer → x reelle
João → (x + 20) reais
hvordan kjøpte de to par joggesko som koster 80 reais hver, så hvis vi setter delene av hver sammen, må vi:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Derfor hadde Mark 70 reais, og João, 90 reais.
av Robson Luiz
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
