En funksjon kalles polynomfunksjon når dens dannelseslov er en polynom. Polynomfunksjoner er klassifisert i henhold til graden av polynom. For eksempel, hvis polynomet som beskriver funksjonsdannelsesloven har grad to, sier vi at dette er en polynomfunksjon av andre grad.
For å beregne den numeriske verdien til en polynomfunksjon, bare erstatt variabel med ønsket verdi, gjør polynomet til et numerisk uttrykk. I studiet av polynomfunksjoner er grafisk fremstilling ganske tilbakevendende. Første grads polynomfunksjon har en graf som alltid er lik en rett linje. 2. graders funksjon har en graf lik en parabel.
Les også: Hva er forskjellen mellom en ligning og en funksjon?
Hva er en polynomfunksjon?
En funksjon f: R → R er kjent som en polynomfunksjon når dens dannelseslov er et polynom:
f (x) = aNeixNei + denn-1xn-1 + denn-2xn-2 +… + The2x2 + den1x + a0
På hva:
x → er variabelen.
n → er en naturlig antall.
DeNei, an-1, an-2,... The2,De1 og0 → er koeffisienter.
Koeffisientene er reelle tall som følger med polynomvariabelen.
Eksempler:
f(x) = x5 + 3x4 - 3x3 + x² - x + 1
f(x) = -2x³ + x - 7
f(x) = x9
Hvordan bestemme polynomfunksjonstypen?
Det er flere typer polynomfunksjoner. Hun er klassifisert i henhold til graden av polynomet. Når graden er 1, er funksjonen kjent som en polynomfunksjon av grad 1 eller polynomfunksjon av 1. grad, eller også en affinefunksjon. Se nedenfor for eksempler på funksjoner fra grad 1 til grad 6.
Se også: Hva er en injektorfunksjon?
grad av polynomfunksjon
Det som definerer graden av polynomfunksjonen er graden av polynom, altså vi kan ha en polynomfunksjon i alle grader.
Grad 1 polynomfunksjon
For at en polynomfunksjon skal være enten grad 1 eller 1. grads polynom, loven om dannelsen av funksjonen må være f(x) = øks + b, med a og b som reelle tall og a ≠ 0. DE grad 1 polynomfunksjon det er også kjent som en affin funksjon.
Eksempler:
f(x) = 2x - 3
f(x) = -x + 4
f(x) = -3x
Grad 2 polynomfunksjon
For at en polynomfunksjon skal være 2. grads polynom eller 2. grads polynom, funksjonsdannelsesloven må væref(x) = ax² + bx + c, med a, b og c som reelle tall og a ≠ 0. En 2. graders polynomfunksjon det kan også være kjent som en kvadratisk funksjon.
Eksempler:
f(x) = 2x² - 3x + 1
f(x) = - x² + 2x
f(x) = 3x² + 4
f(x) = x²
Grad 3 polynomfunksjon
For at en polynomfunksjon skal være en 3. grad eller 3. graders polynom, er funksjonsdannelsesloven må væref(x) = ax³ + bx² + cx + d, med a og b som reelle tall og a ≠ 0. Funksjonen til grad 3 kan også kalles en kubisk funksjon.
Eksempler:
f(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
f(x) = -5x³ + 4x² + 2x
f(x) = 3x³ + 8x - 4
f(x) = -7x³
Grad 4 polynomfunksjon
Både for polynomfunksjonen til grad 4 og for de andre er resonnementet det samme.
Eksempler:
f(x) = 2x4 + x³ - 5x² + 2x + 1
f(x) = x4 + 2x³ - x
f(x) = x4
Grad 5 polynomfunksjon
Eksempler:
f(x) = x5 - 2x4 + x3 - 3x² + x + 9
f(x) = 3x5 + x3 – 4
f(x) = -x5
Polynomfunksjon av grad 6
Eksempler:
f(x) = 2x6 - 7x5 + x4 - 5x3 + x² + 2x - 1
f(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
f(x) = 3x6 + 2x² + 5x
f(x) = x6
Funksjonens numeriske verdi
Kjenne rolledannelsesloven f(x), for å beregne den numeriske verdien av yrke for en verdi Nei, bare beregne verdien av f(Nei). Derfor, vi erstattet variabelen i formasjonsloven.
Eksempel:
gitt funksjonen f(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, vi finner den numeriske verdien av funksjonen for x = 2.
For å finne verdien av f(x) når x = 2, vil vi gjøre f(2).
f(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
f(2) = 8 + 12 – 10 + 4
f(2) = 20 – 10 + 4
f(2) = 10 + 4
f(2) = 14
Vi kan si at bildet av funksjonen eller den numeriske verdien av funksjonen, når x = 2, er lik 14.
Se også: Invers funksjon - består av det inverse av funksjonen f (x)
Grafer for polynomfunksjoner
Å representere i Kartesisk fly funksjonen, vi representerer, på x-aksen, verdiene til x og bildet av f(x), etter punkter i planet. Punktene på det kartesiske planet er av typen (Nei, f(Nei)).
Eksempel 1:
f(x) = 2x - 1
Grafen til en 1. graders funksjon er alltid en rett.
Eksempel 2:
f(x) = x² - 2x - 1
2. graders funksjonsgraf er alltid a lignelse.
Eksempel 3:
f(x) = x³ - x
Grafen for 3. graders funksjon er kjent som kubikk.
Likhet med polynomer
For at to polynomer skal være like, er det nødvendig at når du gjør Sammenligning imellom du din vilkår, koeffisientene er de samme.
Eksempel:
Gitt følgende polynomer p (x) og g (x), og vel vitende om at p (x) = g (x), finn verdien til a, b, c og d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d
Siden polynomene er de samme, har vi det:
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c - 2) x = 3x
d = -4
Merk at vi allerede har verdien d, siden d = -4. Nå, når vi beregner hver av koeffisientene, må vi:
ax³ = 2x³
a = 2
Når vi kjenner til verdien av a, la oss finne verdien av b:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
a = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Finne verdien av c:
(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Se også: Polynomligning - ligning preget av å ha et polynom lik 0
Polynomiske operasjoner
Gitt to polynomer er det mulig å utføre operasjonene til tillegg, subtraksjon og multiplikasjon mellom disse algebraiske begrepene.
Addisjon
Tilsetningen av to polynomer beregnes av summen av durlignende hender. For at to termer skal være like, må den bokstavelige delen (bokstav med eksponent) være den samme.
Eksempel:
La p (x) = 3x² + 4x + 5 og q (x) = 4x² - 3x + 2, beregne verdien av p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Fremhever lignende begreper:
3x² + 4x + 5 + 4x² – 3x + 2
La oss nå legge til koeffisientene til lignende begreper:
(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7
Polynomial subtraksjon
Subtraksjon er veldig lik addisjon, men før operasjonen utføres, vi skriver motsatt polynom.
Eksempel:
Data: p (x) = 2x² + 4x + 3 og q (x) = 5x² - 2x + 1, beregne p (x) - q (x).
Det motsatte polynomet til q (x) er -q (x), som ikke er noe annet enn polynomet q (x) med det motsatte av hver av begrepene.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x - 1
Så vi vil beregne:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Forenkling av lignende begreper har vi:
(2-5) x² + (4 + 2) x + (3-1)
-3x² + 6x + 2
Polynomisk multiplikasjon
Multiplisering av polynom krever anvendelse av distribusjonseiendom, det vil si at vi multipliserer hver term av det første polynomet med hver term av den andre termen.
Eksempel:
(x + 1) · (x² + 2x - 2)
Når vi bruker distribusjonseiendommen, må vi:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
x3 + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
polynomisk inndeling
For å beregne skillet mellom to polynomer, bruker vi den samme metoden som vi bruker for å beregne delingen av to tall, nøkkelmetoden.
Eksempel:
Beregn p (x): q (x), vel vitende om at p (x) = 15x² + 11x + 2 og q (x) = 3x + 1.
Les også: Praktisk Briot-Ruffini-enhet - En annen metode for å beregne divisjon av polynomer
løste øvelser
Spørsmål 1 - Den daglige produksjonskostnaden for en bildelsindustri for å produsere en viss mengde deler er gitt av formasjonsloven f(x) = 25x + 100, hvor x er antall brikker som ble produsert den dagen. Å vite at det på en gitt dag ble produsert 80 stykker, var produksjonskostnaden for disse stykkene:
A) 300 BRL
B) BRL 2100
C) BRL 2000
D) BRL 1800
E) BRL 1250
Vedtak
Alternativ B
f(80) = 25 · 80 + 100
f(80) = 2000 + 100
f(80) = 2100
Spørsmål 2 - Graden av funksjonen h (x) = f(x) · g(x), vel vitende om det f (x) = 2x² + 5x og g(x) = 4x - 5, er:
TIL 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Vedtak
Alternativ C
Først finner vi polynomet som er resultatet av multiplikasjonen mellom f(X og g(x):
f(x) · g(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
f(x) · g(x) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x
Merk at dette er et polynom er av grad 3, så graden av funksjonen h (x) er 3.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm
