O Pascals trekant det er et ganske gammelt matematisk verktøy. Opp gjennom historien har den fått flere navn, men de mest vedtatte i dag er aritmetisk trekant og Pascals trekant. Det andre navnet er en hyllest til matematikeren som ga flere bidrag til studiet av denne trekanten. betyr at trekanten ble oppfunnet av ham, men det var han som gjorde en dypere studie av dette verktøy.
Fra egenskapene til Pascal-trekanten er det mulig å konstruere den logisk. Også skiller seg ut din forhold med kombinasjoner studert i kombinatorisk analyse. Vilkårene i Pascal-trekanten tilsvarer også binomiale koeffisienter, og derfor er det veldig nyttig for å beregne et hvilket som helst Newton-binomial.
Les også: Briot-Ruffini-enhet - metode for å dele polynomer
Konstruksjon av Pascals trekant
Pascals trekant er produsert fra resultatet av kombinasjonene, men det er en praktisk metode som letter måten å bygge den på. Den første raden og den første kolonnen regnes som rad null og kolonne null. Vi kan bruke så mange linjer som trengs
i denne konstruksjonen kan derfor trekanten ha uendelige linjer. Begrunnelsen for utarbeidelsen av linjene er alltid den samme. Se:
Vi vet det trekantledd er kombinasjoner, studerte i kombinatorisk analyse. For å erstatte Pascals trekant med numeriske verdier, vet vi at kombinasjonene av et tall med null og et tall med seg selv alltid er lik 1. Derfor er den første og siste verdien alltid 1.
For å finne de andre starter vi med linje 2, siden linje 0 og linje 1 allerede er komplette. I linje 2, for å finne kombinasjonen av 2 til 1, i linjen over, det vil si i linje 1, la oss legge til termen over den i samme kolonne og termen over den i forrige kolonne, som vist på bildet :
Etter å ha bygget linje 2 er det mulig å bygge linje 3 ved å utføre samme prosedyre.
Ved å fortsette denne prosedyren vil vi finne alle begrepene – i dette tilfellet opp til linje 5 – men det er mulig å bygge så mange linjer som nødvendig.
Egenskaper til Pascals trekant
Det er noen egenskapene til Pascals trekant, på grunn av regelmessigheten i konstruksjonen. Disse egenskapene er nyttige for å arbeide med kombinasjoner, selve konstruksjonen av trekantlinjer og summen av linjer, søyler og diagonaler.
1. eiendom
Den første egenskapen var den vi brukte til å bygge trekanten. Så til finn et begrep i Pascals trekant, bare legg til termen som er i raden over den og den samme kolonnen med termen som er i kolonnen og raden før den. Denne egenskapen kan representeres som følger:
Denne egenskapen er kjent som Stifels forhold og det er viktig å lette konstruksjonen av trekanten og finne verdiene til hver av linjene.
2. eiendom
Summen av alle ledd i en rad beregnes ved:
sNei=2Nei, på hva Nei er linjenummeret.
Eksempler:
Med denne eiendommen er det mulig å vite summen av alle ledd på en linje uten nødvendigvis å måtte konstruere Pascals trekant. Summen av linje 10 kan for eksempel beregnes med 210 = 1024. Selv om ikke alle begrepene er kjent, er det allerede mulig å vite sumverdien av hele linjen.
3. eiendom
Summen av ledd som rekker fra begynnelsen av en gitt kolonne til opp til en viss linje Nei er det samme som begrepet på linjen n+1 rygg og kolonne p+1 senere, som vist nedenfor:
4. eiendom
Summen av en diagonal som starter i kolonne 0 og går til leddet i kolonne p og rad n er lik leddet i samme kolonne (p), men i raden under (n+1), som vist på bildet :
5. eiendom
Det er symmetri i linjene i Pascals trekant. Første og andre ledd er like, andre og nest siste ledd er like, og så videre.
Eksempel:
Linje 6: 1615 20 156 1.
Merk at leddene er lik to til to, bortsett fra det sentrale leddet.
Se også: Polynomdeling: hvordan løses det?
Newtons binomiale
Vi definerer Newtons binomiale a kraften til en polynom som har to begreper. Beregningen av et binomial er relatert til Pascal-trekanten, som blir en mekanisme for å beregne det vi kaller binomiale koeffisienter. For å beregne et binomial bruker vi følgende formel:
Merk at eksponentverdien til De den avtar til den i siste termin er lik De0. Vi vet at hvert tall hevet til 0 er lik 1, derav begrepet De vises ikke i siste periode. Legg også merke til at eksponenten for B begynner med B0, snart B vises ikke i første termin og øker før den når BNei, i siste periode.
Videre er tallet som følger med hvert av begrepene det vi kaller en koeffisient – i dette tilfellet kjent som en binomial koeffisient. For bedre å forstå hvordan du løser denne typen binomial, gå til teksten vår: Newtons binomiale.
binomial koeffisient
Den binomiale koeffisienten er ikke mer enn kombinasjonen, som kan beregnes ved hjelp av formelen:
For å lette beregningen av Newtons binomiale er det imidlertid viktig å bruke Pascal-trekanten, da det gir oss resultatet av kombinasjonen raskere.
Eksempel:
For å finne resultatet av den binomiale koeffisienten, la oss finne verdiene til rad 5 i Pascals trekant, som er {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+1 år5
For å si det enkelt:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3y2+ 10x2y3 + 5xy4+y5
løste øvelser
Spørsmål 1 - Verdien av uttrykket nedenfor er?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Vedtak
Alternativ A.
Ved å omgruppere de positive og negative verdiene, må vi:
Legg merke til at vi faktisk beregner subtraksjonen mellom linje 4 og linje 3 i Pascals trekant. Av eiendom vet vi at:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Spørsmål 2 - Hva er verdien av uttrykket nedenfor?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Vedtak
Alternativ B.
Merk at vi legger til begrepene fra kolonne 1 i Pascals trekant til rad 7, deretter til den tredje eiendom, er verdien av denne summen lik termen som opptar rad 7+1 og kolonne 1+1, det vil si rad 8, kolonne 2. Siden vi bare vil ha én verdi, er det ikke praktisk å konstruere hele Pascal-trekanten.
Av Raul Rodrigues de Oliveira
Matte lærer
Kilde: Brasil skole - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm