Trigonometri er et viktig tema i matematikk som gjør det mulig å kjenne sider og vinkler i en rett trekant, gjennom sinus, cosinus og tangens, i tillegg til andre trigonometriske funksjoner.
For å forbedre studiene og utvide kunnskapen din, følg listen over åtte øvelser, pluss 4 opptakseksempler, alt løst trinnvis.
Øvelse 1
I løpet av morgenen observerte skyggen av en bygning på bakken, fant en person at den målte 63 meter da solstrålene gjorde en vinkel på 30 ° med overflaten. Baser på denne informasjonen, beregne høyden på bygningen.
Riktig svar: Omtrent 36,37 m.
Bygningen, skyggen og solstrålen bestemmer en rett trekant. Ved hjelp av 30 ° vinkelen og tangenten kan vi bestemme bygningens høyde.
Siden høyden på bygningen er h, har vi:
Øvelse 2
På en omkrets med en diameter på 3, danner et segment AC, kalt akkord, en 90 ° vinkel med et annet akkord CB av samme lengde. Hva er målene på strengene?
Riktig svar: Lengden på tauet er 2,12 cm.
Ettersom segmentene AC og CB danner en vinkel på 90 ° og er av samme lengde, er trekanten som er dannet likbenet og grunnvinklene er like.
Siden summen av de indre vinklene til en trekant er lik 180 °, og vi allerede har en vinkel på 90 °, er det igjen 90 ° igjen som skal deles likt mellom de to basisvinklene. Dermed er verdien av disse lik 45º hver.
Siden diameteren er lik 3 cm, er radiusen 1,5 cm, og vi kan bruke cosinus på 45 ° til å bestemme lengden på strengen.
Øvelse 3
En syklist som deltar i et mesterskap nærmer seg mållinjen øverst i en skråning. Total lengde på denne siste delen av løpet er 60 m, og vinkelen mellom rampen og den horisontale er 30 °. Å vite dette, beregne den vertikale høyden syklisten trenger å klatre.
Riktig svar: Høyden vil være 30 m.
Når vi kaller høyden på h, har vi:
Øvelse 4
Følgende figur er dannet av tre trekanter der høyden h bestemmer to rette vinkler. Elementverdiene er:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Bestem verdien av a + b.
Riktig svar:
Vi kan bestemme målingene av segmentene a og b ved hjelp av tangensene til de gitte vinklene.
Beregning av a:
Beregning av b:
Og dermed,
Øvelse 5
Et fly tok av fra by A og fløy 50 km i rett linje til det landet i by B. Etterpå fløy den ytterligere 40 km, denne gangen mot byen D. Disse to rutene er i en 90 ° vinkel i forhold til hverandre. På grunn av ugunstige værforhold mottok imidlertid piloten en kommunikasjon fra kontrolltårnet som informerte ham om at han ikke kunne lande i by D og at han skulle returnere til by A.
For å gjøre U-svingen fra punkt C, ville piloten måtte gjøre en sving på hvor mange grader til høyre?
Ta i betraktning:
sin 51 ° = 0,77
cos 51 ° = 0,63
tan 51 ° = 1,25
Riktig svar: Piloten må svinge 129 ° til høyre.
Når vi analyserer figuren, ser vi at stien danner en rett trekant.
La oss kalle vinkelen vi leter etter W. Vinklene W og Z er supplerende, det vil si at de danner en grunne vinkel på 180 °.
Dermed er W + Z = 180 °.
W = 180 - Z (ligning 1)
Vår oppgave er nå å bestemme Z-vinkelen, og for det skal vi bruke tangenten.
Vi må spørre oss selv: Hva er vinkelen hvis tangens er 1,25?
Problemet gir oss disse dataene, tan 51 ° = 1,25.
Denne verdien kan også bli funnet i en trigonometrisk tabell eller med en vitenskapelig kalkulator ved hjelp av funksjonen:
Ved å erstatte verdien av Z i ligning 1 har vi:
W = 180 ° - 51 ° = 129 °
Øvelse 6
En stråle av monokromatisk lys når den går fra ett medium til et annet, lider avvik mot det. Denne endringen i forplantningen er relatert til medias brytningsindekser, som vist i følgende forhold:
Snells lov - Descartes
Der i og r er innfallsvinklene og brytningsvinklene og, n1 og n2, brytningsindeksene til middel 1 og 2.
Når du treffer overflaten av skillet mellom luft og glass, endrer en lysstråle retning, som vist på figuren. Hva er brytningsindeksen til glass?
Data: Luftbrytningsindeks lik 1.
Riktig svar: Brytningsindeksen til glasset er lik .
Erstatte verdiene vi har:
Øvelse 7
For å dra en tømmerstokk inn i verkstedet hans, bundet en låsesmed et tau til tømmerstokken og trakk den ti meter over en horisontal overflate. En kraft på 40 N gjennom strengen gjorde en vinkel på 45 ° med kjøreretningen. Beregn arbeidet til den påførte kraften.
Riktig svar: Arbeidet som utføres er omtrent 84,85 J.
Arbeid er en skalar mengde oppnådd av produktet av kraft og forskyvning. Hvis kraften ikke har samme retning som forskyvningen, må vi nedbryte denne kraften og bare vurdere komponenten i denne retningen.
I dette tilfellet må vi multiplisere kraftens størrelse med vinkelens cosinus.
Så vi har:
Øvelse 8
Mellom to fjell måtte innbyggerne i to landsbyer reise en hard vei opp og ned. For å løse situasjonen ble det bestemt at det skulle bygges en kabelbro mellom landsbyene A og B.
Det ville være nødvendig å beregne avstanden mellom de to landsbyene ved den rette linjen som broen ville strekkes på. Ettersom innbyggerne allerede visste høyden på byene og stigningene, kunne denne avstanden beregnes.
Basert på diagrammet nedenfor og å vite at byens høyde var 100 m, beregne lengden på broen.
Riktig svar: Broen skal ha en lengde på omtrent 157,73 m.
Broens lengde er summen av sidene ved siden av de angitte vinklene. Når vi kaller høyden på h, har vi:
Beregning med 45 ° vinkel
Beregning med en vinkel på 60 °
For å bestemme broens lengde summerer vi de oppnådde verdiene.
Spørsmål 1
Cefet - SP
I trekanten ABC nedenfor er CF = 20 cm og BC = 60 cm. Merk målingene til henholdsvis AF- og BE-segmentene.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Svar: b) 10, 20
For å bestemme AF
Vi bemerker at AC = AF + CF, så vi må:
AF = AC - CF (ligning 1)
CF er gitt av problemet, som er lik 20 cm.
AC kan bestemmes ved hjelp av 30 ° sinus.
BC er gitt av problemet, som er lik 60 cm.
Ved å erstatte i ligning 1 har vi:
Å bestemme BE
Første observasjon:
Vi bekrefter at figuren inne i trekanten er et rektangel på grunn av de rette vinklene som er bestemt i figuren.
Derfor er sidene deres parallelle.
Andre observasjon:
BE-segmentet danner en rettvinklet trekant med en vinkel på 30 ° der: høyden er lik AF, som vi nettopp har bestemt, og BE er hypotenusen.
Gjøre beregningen:
Vi bruker 30 ° sinus for å bestemme BE
spørsmål 2
EPCAR-MG
Et fly tar av fra punkt B under en konstant helling på 15 ° til det horisontale. 2 km fra B er den vertikale projeksjonen C på det høyeste punktet D i et 600 m høyt fjellkjede, som vist på figuren.
Data: cos 15 ° = 0,97; sin 15 ° = 0,26; tg 15 ° = 0,27
Det er riktig å si at:
a) Flyet kolliderer ikke med sagen før det når 540 m i høyden.
b) Det vil være en kollisjon mellom flyet og sagen i en høyde på 540 m.
c) Flyet kolliderer med sagen i D.
d) Hvis flyet tar av 220 m før B, med samme helling, vil det ikke være noen kollisjon mellom flyet og sagen.
Svar: b) Det vil være en kollisjon mellom flyet og sagen i en høyde på 540 m.
Først er det nødvendig å bruke samme multiplum av lengdemåleenheten. Derfor vil vi gå 2 km til 2000 m.
Etter de samme innledende flyforholdene, kan vi forutsi høyden som flyet vil være i den vertikale projeksjonen av punkt C.
Ved hjelp av 15 ° tangens og definere høyden som h, har vi:
spørsmål 3
ENEM 2018
For å dekorere en rett sirkulær sylinder, vil en rektangulær stripe med gjennomsiktig papir bli brukt, hvor en diagonal som danner 30 ° med underkanten er tegnet med fet skrift. Radien på sylinderens bunn måler 6 / π cm, og når du vikler stripen, oppnås en linje i form av en helix, som vist på figuren.
Verdien av måling av sylinderens høyde, i centimeter, er:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Svar: b) 24√3
Når vi observerer figuren, merker vi at det ble gjort 6 svinger rundt sylinderen. Siden det er en rett sylinder, vil vi ha en sirkel som base hvor som helst i høyden.
For å beregne målet på trekanten.
Lengden på en sirkel kan fås fra formelen:
Hvor r er radiusen e, lik med ,vi har:
Hvordan er 6 runder:
Vi kan bruke 30 ° tan for å beregne høyden.
spørsmål 4
ENEM 2017
Solstråler når overflaten til en innsjø i en X-vinkel med overflaten, som vist på figuren.
Under visse forhold kan det antas at lysstrålen til disse strålene, på vannoverflaten, er gitt omtrent av I (x) = k. sin (x), k er konstant, og antar at X er mellom 0 ° og 90 °.
Når x = 30º, reduseres lysstyrken til hvor stor prosentandel av dens maksimale verdi?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Svar: B) 50%
Ved å erstatte 30 ° sinusverdien i funksjonen, får vi:
Etter å ha redusert verdien av k med halvparten, er intensiteten 50%.
Øv på flere øvelser i:
Trigonometriøvelser
Utvid din kunnskap med:
Trigonometri i høyre trekant
Metriske forhold i rektangel-trekanten
Trigonometri
