PA og PG: sammendrag, formler og øvelser

DE aritmetisk progresjon - PA er en sekvens av verdier som har en konstant forskjell mellom påfølgende tall.

DE geometrisk progresjon - PG viser tall med samme kvotient når de deler to påfølgende ord.

Mens i den aritmetiske progresjonen oppnås vilkårene ved å legge til forskjellen som er vanlig for forgjengeren, vilkårene for a geometriske progresjoner blir funnet ved å multiplisere forholdet med det siste tallet i sekvensen, og dermed oppnå begrepet etterfølger.

Nedenfor er et sammendrag av de to typene progresjon.

Aritmetisk progresjon (AP)

En aritmetisk progresjon er en sekvens dannet av termer som skiller seg fra hverandre ved en konstant verdi, som kalles forhold, beregnet av:

Hvor,

r er grunnen til BP;
De₂ er det andre begrepet;
De₁ er første periode.

Derfor kan vilkårene for en aritmetisk progresjon skrives som følger:

Merk at i en PA av Nei betegner formelen for det generelle begrepet (den_Nei) av sekvensen er:

De_Nei = den₁ + (n - 1) r

Noen spesielle tilfeller er: en 3-term AP er representert med (x - r, x, x + r) og en 5-term AP har komponentene representert med (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).

Typer PA

I henhold til forholdsverdien klassifiseres aritmetiske progresjoner i tre typer:

1. Konstant: når forholdet er lik null og BP-vilkårene er like.

Eksempel: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), hvor r = 0

2. Vokser: når forholdet er større enn null og et begrep fra det andre er større enn det forrige;

Eksempel: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), hvor r = 2

3. synkende: når forholdet er mindre enn null og et begrep fra det andre er mindre enn det forrige.

Eksempel: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), hvor r = - 2

Aritmetiske progresjoner kan fortsatt klassifiseres i avgrenset, når de har et visst antall ord, og uendelig, det vil si med uendelige termer.

Summen av vilkårene for en PA

Summen av vilkårene for en aritmetisk progresjon beregnes med formelen:

Hvor, Nei er antall termer i sekvensen, De₁ er første periode og De_Nei er det niende begrepet. Formelen er nyttig for å løse spørsmål der første og siste periode er gitt.

Når et problem har den første perioden og BP-grunnen, kan du bruke formelen:

Disse to formlene brukes til å legge til vilkårene for en endelig BP.

Gjennomsnittlig periode for PA

For å bestemme gjennomsnitts- eller sentralbegrepet til en BP med et oddetall av termer, beregner vi det aritmetiske gjennomsnittet med første og siste term (a₁ og_Nei):

Gjennomsnittsuttrykket mellom tre påfølgende tall i en PA tilsvarer det aritmetiske gjennomsnittet til forgjengeren og etterfølgeren.

Løst eksempel

Gitt PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), bestem forholdet, gjennomsnittstiden og summen av vilkårene.

1. PA-grunn

2. mellomlang sikt

3. summen av vilkår

Lære mer om aritmetisk progresjon.

Geometrisk progresjon (PG)

En geometrisk progresjon dannes når en sekvens har en multiplikasjonsfaktor som følge av å dele to påfølgende ord, kalt et felles forhold, som beregnes av:

Hvor,

hva er grunnen til PG;
De₂ er det andre begrepet;
De₁ er første periode.

En geometrisk progresjon av Nei vilkår kan vises som følger:

Å være De₁ den første perioden beregnes den generelle termen for PG av De₁.q^(Nei-1).

PG-typer

I henhold til verdien av forholdet (q), kan vi klassifisere de geometriske progresjonene i fire typer:

1. Vokser: forholdet er alltid positivt (q> 0) og vilkårene øker;

Eksempel: PG: (3, 9, 27, 81, ...), hvor q = 3.

2. synkende: forholdet er alltid positivt (q> 0), ikke-null (0), og vilkårene synker;

Eksempel: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), hvor q = 3

3. oscillerende: årsaken er negativ (q

Eksempel: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, ...), hvor q = - 2

4. Konstant: forholdet er alltid lik 1 og vilkårene har samme verdi.

Eksempel: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), hvor q = 1

Summen av vilkårene for en PG

Summen av vilkårene for en geometrisk progresjon beregnes med formelen:

Å være De₁ første periode, hva den vanlige årsaken og Nei antall termer.

Hvis PG-forholdet er mindre enn 1, vil vi bruke følgende formel for å bestemme summen av termer.

Disse formlene brukes til en endelig PG. Hvis den forespurte summen er en uendelig PG, er formelen som brukes:

Gjennomsnittlig periode på PG

For å bestemme gjennomsnittet eller den sentrale termen til en PG med et oddetall av termer, beregner vi det geometriske gjennomsnittet med den første og siste termen (a₁ og_Nei):

Løst eksempel

Gitt PG (1, 3, 9, 27 og 81) bestemme forholdet, gjennomsnittlig løpetid og summen av vilkårene.

1. PG grunn

2. mellomlang sikt

3. summen av vilkår

Lære mer om geometrisk progresjon.

Sammendrag av PA- og PG-formler

aritmetisk progresjon	Geometrisk progresjon
Grunnen til
generell betegnelse
mellomlang sikt
begrenset sum
uendelig sum

Lære mer om tallsekvenser.

Øvelser på PA og PG

Spørsmål 1

Hva er det 16. begrepet i sekvensen som starter med tallet 3 og har et BP-forhold lik 4?

a) 36
b) 52
c) 44
d) 63

Se Svar

Riktig alternativ: d) 63.

Siden forholdet mellom en PA er konstant, kan vi finne det andre begrepet i sekvensen ved å legge forholdet til det første tallet.

De₂ = den₁ + r

De₂ = 3 + 4

De₂ = 7

Derfor kan vi si at denne sekvensen er dannet av (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)

Den 16. termin kan beregnes med den generelle begrepsformelen.

De_Nei = den₁ + (n - 1). r

De₁₆ = 3 + (16 – 1). 4

De₁₆ = 3 + 15.4

De₁₆ = 3 + 60

De₁₆ = 63

Derfor er svaret på spørsmålet 63.

spørsmål 2

Hva er forholdet mellom en seks-term AP hvis sum av de tre første tallene i sekvensen er lik 12 og de to siste er lik –34?

a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5

Se Svar

Riktig alternativ: b) - 6.

Den generelle formelen for vilkårene for en aritmetisk progresjon er₁, (a₁ + r), (a₁ + 2r),..., {a₁ + (n-1) r}. Derfor kan summen av de tre første begrepene skrives som følger:

De₁ + (den₁ + r) + (a₁ + 2r) = 12
3.₁ + 3r = 12
3.₁ = 12 - 3r
De₁ = (12 - 3r) / 3
De₁ = 4 - r

Og summen av de to siste begrepene er:

(De₁ + 4r) + (a₁ + 5r) = - 34
2. plass₁ + 9r = - 34

Nå bytter vi ut₁ av 4 - r.

2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6

Derfor er PG-forholdet - 6.

spørsmål 3

Hvis den tredje termen til en fastlege er 28 og den fjerde termen er 56, hva er de fem første vilkårene for denne geometriske progresjonen?

a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112

Se Svar

Riktig alternativ: d) 7, 14, 28, 56, 112

Først må vi beregne forholdet mellom denne PG. For dette vil vi bruke formelen:

De₄ = den₃. hva
56 = 28. hva
56/28 = q
q = 2

Nå beregner vi de 5 første begrepene. Vi begynner med₁ ved hjelp av formelen for det generelle begrepet.

De_Nei = den₁. hva^(n-1)
De₃ = den₁ . hva^(3-1)
28 =₁. 2²
De₁ = 28/ 4 = 7

De resterende vilkårene kan beregnes ved å multiplisere det forutgående begrepet med forholdet.

De₂ = den₁.q
De₂ = 7. 2
De₂ = 14

De₅ = den₄. hva
De₅ = 56. 2
De₅ = 112

Derfor er de fem første vilkårene i PG:

1. semester: 7
2. semester: 14
3. periode: 28
4. periode: 56
5. periode: 112

Se også andre øvelser for å fortsette å øve:

• Øvelser på aritmetisk progresjon
• Øvelser på geometrisk progresjon