Komplekse antall øvelser: Liste over løste spørsmål og tilbakemeldinger

Du komplekse tall gjøre det mulig å løse matematiske problemer som ikke har løsninger i settet med reelle tall.

I et komplekst tall skrevet som $\ dpi {120} z = a + bi$ , vi sier det $\ dpi {120} til$ er den virkelige delen, $\ dpi {120} b$ er den imaginære delen og $\ dpi {120} i = \ sqrt {-1}$ det er den tenkte enheten.

Å fremføre operasjoner med komplekse tall, det er noen uttrykk som gjør beregningene enklere. Ta i betraktning $\ dpi {120} z_1 = a + bi$ og $\ dpi {120} z_2 = c + di$ .

Tilleggsuttrykk mellom komplekse tall:

$\ dpi {120} z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d) i$

Uttrykk for subtraksjon mellom komplekse tall:

$\ dpi {120} z_1 - z_2 = (a-c) + (b - d) i$

Uttrykk for multiplikasjon mellom komplekse tall:

$\ dpi {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

Uttrykk for divisjon mellom komplekse tall:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - annonse)} {c ^ 2 + d ^ 2 }Jeg$

Nedenfor er en liste over spørsmål løst med øvelser på komplekse tall. Lær å bruke hvert av konseptene som involverer disse tallene!

Indeks

Liste over øvelser på komplekse tall
Løsning av spørsmål 1
Løsning av spørsmål 2
Løsning av spørsmål 3
Løsning av spørsmål 4
Løsning av spørsmål 5
Løsning av spørsmål 6
Løsning av spørsmål 7
Løsning av spørsmål 8

Liste over øvelser på komplekse tall

Spørsmål 1. Tatt i betraktning de komplekse tallene $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ og $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ bestem verdien av $\ dpi {120} A.$ , Når $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

Spørsmål 2. Finn verdiene til $\ dpi {120} x$ og $\ dpi {120} å$ slik at $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

instagram story viewer

Spørsmål 3. Tatt i betraktning de komplekse tallene $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ , bestem verdien av $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Når $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ og $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Spørsmål 4. Beregn verdien av $\ dpi {120} s$ og $\ dpi {120} q$ for hva $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Når $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Spørsmål 5. Bestem verdien av $\ dpi {120} til$ for hva $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ være et rent imaginært tall.

Spørsmål 6. Beregn følgende imaginære enhetskrefter $\ dpi {120} i$ :

De) $\ dpi {120} i ^ {16}$
B) $\ dpi {120} i ^ {200}$
ç) $\ dpi {120} i ^ {829}$
d) $\ dpi {120} i ^ {11475}$

Spørsmål 7. Finn løsningen på ligningen $\ dpi {120} x ^ 2 + 9 = 0$ i settet med komplekse tall.

Spørsmål 8. Bestem løsningen på ligningen $\ dpi {120} x ^ 2 + x + 1 = 0$ i settet med komplekse tall.

Løsning av spørsmål 1

Vi har $\ dpi {120} z_1 = 2 + 3i$ og $\ dpi {120} z_2 = 2-5i$ og $\ dpi {120} z_3 = -1 + 4i$ og vi vil bestemme verdien av $\ dpi {120} A.$ , Når $\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

La oss først beregne $\ dpi {120} 4z_3$ og $\ dpi {120} 3z_1$ , hver for seg:

$\ dpi {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ dpi {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

La oss nå beregne $\ dpi {120} A.$ :

$\ dpi {120} A = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2 - 5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

Løsning av spørsmål 2

Vi vil finne x og y slik at $\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

Ved uttrykk for summen mellom to komplekse tall, må vi:

$\ dpi {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

Så vi må ha det $\ dpi {120} (2 + y) = 3$ og $\ dpi {120} (x-5) i = -i$ . La oss løse disse to ligningene for å finne x og y.

$\ dpi {120} (2 + y) = 3 \ Rightarrow y = 3-2 \ Rightarrow y = 1$

$\ dpi {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

Løsning av spørsmål 3

Vi har $\ dpi {120} z_1 = -2 - 5i$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 3i$ og vi vil bestemme verdien av $\ dpi {120} A \ cdot B$ , Når $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ og $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

Først beregner vi $\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$ .

$\ dpi {120} A = z_1 \ cdot \ bar {z_1}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

Ved uttrykk for multiplikasjonen mellom to komplekse tall, må vi:

$\ dpi {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ dpi {120} \ Rightarrow A = 29$

La oss nå beregne $\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$ .

$\ dpi {120} B = z_2 \ cdot \ bar {z_2}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1-3 - cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow B = 10$

Derfor, $\ dpi {120} A \ cdot B = 29 \ cdot 10 = 290$ .

Løsning av spørsmål 4

Vi ønsker å beregne verdien av $\ dpi {120} s$ og $\ dpi {120} q$ for hva $\ dpi {120} z_1: z_2 = q + 2i$ , Når $\ dpi {120} z_1 = 3 - pi$ og $\ dpi {120} z_2 = 1 + 2i$ .

Det betyr å finne $\ dpi {120} s$ og $\ dpi {120} q$ så det:

Ta en titt på noen gratis kurs

Gratis online inkluderende utdanningskurs
Gratis online lekebibliotek og læringskurs
Gratis online matematikkspillkurs i barneopplæring
Gratis online pedagogisk kulturverkstedskurs

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

Ved uttrykk for skillet mellom to komplekse tall, må vi:

$\ dpi {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

Når vi blir med på de to forholdene, må vi ha:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

Dvs:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

La oss løse hver av disse ligningene, og begynner med den andre som bare avhenger av p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ dpi {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ dpi {120} \ Rightarrow p = -16$

Nå finner vi q ved den andre ligningen:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow q = 7$

Løsning av spørsmål 5

Vi ønsker å finne verdien av $\ dpi {120} til$ for hva $\ dpi {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ være et rent imaginært tall.

Et rent imaginært tall er ett hvis virkelige del er lik null.

Med tanke på uttrykket for skillet mellom to komplekse tall, har vi det:

$\ dpi {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

For at dette tallet skal være rent imaginært, må vi ha:

$\ dpi {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ dpi {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ dpi {120} \ Høyre pil a = -2$

Løsning av spørsmål 6

Ved å definere krefter og komplekse tall må vi:

$\ dpi {120} i ^ 0 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 1 = i$
$\ dpi {120} i ^ 2 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 3 = -i$
$\ dpi {120} i ^ 4 = 1$
$\ dpi {120} i ^ 5 = i$
$\ dpi {120} i ^ 6 = -1$
$\ dpi {120} i ^ 7 = -i$

Observer et mønster som gjentar seg hver fjerde påfølgende krefter: 1, i, -1 og -i.

For å finne resultatet med hvilken som helst kraft i, er det bare å dele eksponenten med 4. Resten av divisjonen vil være 0, 1, 2 eller 3, og denne verdien vil være eksponenten vi skal bruke.

De) $\ dpi {120} i ^ {16}$

16: 4 = 4 og resten er 0.

Deretter, $\ dpi {120} i ^ {16} = i ^ 0 = 1$ .