Vinkel mellom to vektorer

I matematikk eller fysikk, er vektorer de er rette segmenter med retning, retning og lengde, som brukes til å representere størrelser som kraft, hastighet og akselerasjon.

Vektorer indikerer baner og kan defineres ved hjelp av et koordinatsystem (x, y). Tatt i betraktning punktet (0,0) som opprinnelsen til segmentet, viser figuren under en vektor $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u}}$ hvis slutt er poenget $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ (x_1, y_1 \)}$ .

Notasjon: $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ .

den ordinerte $\ dpi {120} \ boldsymbol {x_1}$ kalles den horisontale komponenten og abscissen $\ dpi {120} \ boldsymbol {y_1}$ , av vertikal komponent.

Vurder nå, i tillegg til vektoren $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ , en annen vektor $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ og en vinkel dannet mellom dem, som vist i figuren nedenfor.

Denne vinkelen mellom vektorene kan beregnes med en formel som involverer punktproduktet mellom vektorene og normen (lengden) til hver vektor.

Vinkel mellom to vektorer

To vektor terninger $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (x_1, y_1 \)}$ og $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (x_2, y_2 \)}$ , vinkelens cosinus $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta}$ blant dem er relatert til det interne produktet mellom vektorene og deres standarder som følger:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {\ left \ langle \ vec {u}, \ vec {v} \ right \ rangle} {\ | \ vec {u} \ |. \ | \ vec {v} \ | }}$

Telleren for brøkdelen er det indre produktet mellom vektorene, gitt av:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ left \ lange \ vec {u}, \ vec {v} \, \ right \ rangle = x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2}$

Og nevneren er produktet mellom standardene for hver av vektorene, som følger:

instagram story viewer

Ta en titt på noen gratis kurs

Gratis online inkluderende utdanningskurs
Gratis online lekebibliotek og læringskurs
Gratis online matematikkspillkurs i tidlig barndom
Gratis online pedagogisk kulturverkstedskurs

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {u} \ | = \ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2}}$

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ | \ vec {v} \ | = \ sqrt {(x_2) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}$

Ved å foreta erstatningen bekreftet vi at vinkelformel mellom to vektorer é:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {x_1 \ cdot x_2 + y_1 \ cdot y_2} {\ sqrt {(x_1) ^ 2 + (y_1) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(x_2 )) ^ 2 + (y_2) ^ 2}}}$

Eksempel:

Beregn vinkelen mellom vektorene $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {u} = \ (2,4 \)}$ og $\ dpi {120} \ boldsymbol {\ vec {v} = \ (5,3 \)}$ .

Ved å bruke verdiene i formelen må vi:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {2 \ cdot 5 + 4 \ cdot 3} {\ sqrt {(2) ^ 2 + (4) ^ 2} \ cdot \ sqrt {(5 ) ^ 2 + (3) ^ 2}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {10 + 12} {\ sqrt {4 + 16} \ cdot \ sqrt {25 + 9}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {cos \, \ theta = \ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}}}$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ boldsymbol {\ theta = cos ^ {- 1} \ left (\ frac {22} {\ sqrt {20} \ cdot \ sqrt {34}} \ right)}$

Ved hjelp av en kalkulator eller en trigonometrisk tabell, kan vi se at:

$\ dpi {120} \ boldsymbol {\ theta = 32.47 ^ {\ circ}}$

Du kan også være interessert:

Buer med mer enn en sving
Buer og sirkelbevegelse
trigonometrisk sirkel
hastighet på et kjøretøy

Passordet er sendt til e-posten din.

Vinkel mellom to vektorer

Vinkel mellom to vektorer

Verdens bokdag

Alt om håndball: regler, grunnleggende, historie, opprinnelse og posisjoner

Årsaker til andre verdenskrig