DE 2. grads ligning er preget for en polynom av grad 2, det vil si et polynom av typen ax2+ bx + c, hvor De, B og ç de er reelle tall. Når vi løser en ligning av grad 2, er vi interessert i å finne verdier for det ukjente. x som gjør verdien av uttrykket lik 0, som kalles røtter, det vil si øks2 + bx + c = 0.
Les også: Forskjeller mellom funksjon og ligning
Typer andregradsligninger
2. grads ligning kan være representert med ax² + bx + c = 0, der koeffisientene De, B og ç er reelle tall, med De ≠ 0.
→ Eksempler
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 og c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 og c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 og c = -1
2. grads ligning er klassifisert som fullstendig når alle koeffisientene er forskjellige fra 0, det vil si De ≠ 0, B ≠ 0 og ç ≠ 0.
2. grads ligning er klassifisert som ufullstendig når verdien av koeffisientene B eller ç er lik 0, det vil si b = 0 eller c = 0.
→ Eksempler
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 og c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 og c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 og c = 0
Heads up: koeffisientverdien De det er aldri lik 0, hvis det skjer, er ligningen ikke lenger 2. grad.
Hvordan løse 2. graders ligninger?
Løsningen av en 2. graders ligning oppstår når røtter blir funnet, det vil si verdiene som er tildelt x. Disse verdiene av x må gjøre likheten sann, det vil si ved å erstatte verdien av x i uttrykket må resultatet være lik 0.
→ Eksempel
Tatt i betraktning x-ligningen2 - 1 = 0 har vi at x ’= 1 og x’ ’= - 1 er løsninger av ligningen, fordi vi erstatter disse verdiene i uttrykket, og har en sann likhet. Se:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 og (–1)2 – 1 = 0
For å finne løsningen på en ligning, er det nødvendig å analysere om ligningen er komplett og ufullstendig og velge hvilken metode som skal brukes.
Løsningsmetode for ligninger av typen ax²+ c = 0
Metoden for å bestemme løsningen på ufullstendige ligninger som har B=0består i å isolere det ukjente x, og dermed:
→ Eksempel
Finn røttene til ligningen 3x2 – 27 = 0.
Hvis du vil vite mer om denne metoden, kan du gå til: 2. grad ufullstendig ligning med nullkoeffisient b.
Løsningsmetode for ligninger av typen øks2 + bx = 0
Metoden for å bestemme mulige løsninger for en ligning med ç = 0, består av å bruke bevis factoring. Se:
øks2 + bx = 0
x · (ax + b) = 0
Når man ser på den siste likheten, er det merkbart at det er en multiplikasjon, og at for at resultatet skal være 0, er det nødvendig at minst en av faktorene er lik 0.
x · (ax + b) = 0
x = 0 eller øks + b = 0
Dermed er løsningen på ligningen gitt av:
→ Eksempel
Bestem løsningen på ligningen 5x2 - 45x = 0
Hvis du vil vite mer om denne metoden, kan du gå til: ufullstendig 2. grads ligning med nullkoeffisient c.
Løsningsmetode for komplette ligninger
Metoden kjent som Bhaskara-metoden eller Bhaskara formel påpeker at røttene til en 2. graders ligning av typen øks2 + bx + c = 0 er gitt av følgende forhold:
→ Eksempel
Bestem løsningen på ligningen x2 - x - 12 = 0.
Merk at koeffisientene i ligningen er: a = 1; B= - 1 og ç = – 12. Ved å erstatte disse verdiene i Bhaskaras formel har vi:
Deltaet (Δ) er oppkalt etter kresne og legg merke til at det er inne i kvadratrot og, som vi vet, når vi tar hensyn til de reelle tallene, er det ikke mulig å trekke ut kvadratroten til et negativt tall.
Når vi kjenner verdien av diskriminanten, kan vi komme med noen uttalelser om løsningen av 2. grads ligning:
→ positiv diskriminant (Δ> 0): to løsninger på ligningen;
→ diskriminant lik null (Δ = 0): løsningene i ligningen gjentas;
→ negativ diskriminant (Δ <0): innrømmer ikke reell løsning.
Andregrads ligningssystemer
Når vi samtidig vurderer to eller flere ligninger, har vi a ligningssystem. Løsningen til et 2-variabelt system er sett med bestilte par som samtidig tilfredsstiller alle ligningene som er involvert.
→ Eksempel
Tenk på systemet:
Med verdiene: x ’= 2, x’ ’= - 2 og y’ = 2, y ’’ = - 2 kan vi sette sammen ordnede par som tilfredsstiller systemligningene samtidig. Se: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Husk at et bestilt par er skrevet av skjemaet (x, y).
Metodene for å finne løsningen på et ligningssystem ligner på lineære systemer.
→ Eksempel
Tenk på systemet:
Fra ligningen x - y = 0, la oss isolere det ukjente x, og dermed:
x - y = 0
x = y
Nå må vi erstatte den isolerte verdien i den andre ligningen, slik:
x2 - x –12 = 0
y2 - y –12 = 0
Ved å bruke Bhaskaras metode, må vi:
Siden x = y, vil vi ha x ’= y’ og x ’’ = y ’’. Dvs:
x ’= 4
x ’’ = -3
Dermed er de bestilte parene løsninger av systemet (4, 4) og (- 3, - 3).
Les mer: System med 1. og 2. grads ligninger
løste øvelser
Spørsmål 1 - (ESPM -SP) Løsningene på ligningen nedenfor er to tall
a) fettere.
b) positive.
c) negativ.
d) par.
e) merkelig.
Løsning
Vi vet at nevnerne til en brøk ikke kan være lik null, så x ≠ 1 og x ≠ 3. Og siden vi har like brøkdeler, kan vi kryss-multiplisere og oppnå:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
x2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Ved å dele begge sider av ligningen med 2 har vi:
x2 - 4x - 5 = 0
Ved å bruke Bhaskaras formel følger det at:
Merk at røttene til ligningen er oddetall.
Alternativ e.
spørsmål 2 - (UFPI) En fjørfebonde fant at etter å ha plassert (n +2) fugler i hver av de tilgjengelige fuglene, ville bare en fugl være igjen. Det totale antallet fugler, for en hvilken som helst naturlig verdi på n, er alltid
a) et partall.
b) et oddetall.
c) en perfekt firkant.
d) et tall som kan deles med 3.
e) et primtall.
Løsning
Antallet fugler kan bli funnet ved å multiplisere antall fugler med antall fugler plassert i hver. av dem, etter uttalelsen av øvelsen etter å ha gjort denne prosessen, er det fortsatt en fugl igjen, vi kan skrive alt dette i det følgende måte:
n · (n + 2) +1
Ved å utføre distribusjon får vi:
Nei2 + 2n +1
Og medregning av dette polynomet følger at:
(n + 1)2
Dermed er det totale antall fugler alltid en perfekt firkant for ethvert naturlig antall n.
Alternativ C
av Robson Luiz
Matematikklærer
Kilde: Brasilskolen - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
