Hva er komplekse tall?

Frem til midten av 1500-tallet, likninger som x² - 6x + 10 = 0 ble ganske enkelt ansett som "ingen løsning". Dette var fordi, i henhold til Bhaskaras formel, resultatet som ble funnet når du løste denne ligningen:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Problemet ble funnet i √– 4, som ikke har noen løsning innenfor settet med reelle tall, det vil si nei det er et reelt tall som multiplisert med seg selv gir √– 4, siden 2 · 2 = 4 og (–2) (- 2) = 4.

I 1572 var Rafael Bombelli opptatt med å løse ligningen x³ - 15x - 4 = 0 ved bruk av Cardanos formel. Gjennom denne formelen konkluderes det at denne ligningen ikke har reelle røtter, da det ender opp med å være nødvendig å beregne √– 121. Men etter noen få forsøk er det mulig å finne at 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 og derfor at x = 4 er en rot til denne ligningen.

Med tanke på eksistensen av virkelige røtter som ikke ble uttrykt ved Cardanos formel, hadde Bombelli ideen om å anta at √– 121 vil resultere i √ (- 11 · 11) = 11 · √– 1 og dette kan være en “uvirkelig” rot for ligningen studerte. Dermed ville √– 121 være en del av en ny type tall som utgjør de andre ubegrunnede røttene til denne ligningen. Så ligningen x

³ - 15x - 4 = 0, som har tre røtter, ville ha x = 4 som den virkelige roten og to andre røtter som tilhører denne nye typen tall.

På slutten av 1700-tallet kalte Gauss disse tallene som komplekse tall. På den tiden hadde komplekse tall allerede form a + bi, med i = √– 1. Dessuten, De og B de ble allerede ansett som punkter i et kartesisk fly, kjent som Argand-Gauss-flyet. Dermed hadde det komplekse tallet Z = a + bi som sin geometriske representasjon et punkt P (a, b) på det kartesiske planet.

Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)

Derfor er uttrykket “komplekse tall”Begynte å bli brukt i referanse til det numeriske settet hvis representanter er: Z = a + bi, med i = √– 1 og med De og B tilhører settet med reelle tall. Denne representasjonen kalles algebraisk form av kompleks nummer Z.

Siden komplekse tall dannes av to reelle tall, og ett av dem multipliseres med √– 1, disse reelle tallene har fått et spesielt navn. Med tanke på det komplekse tallet Z = a + bi, er a den "virkelige delen av Z" og b er den "imaginære delen av Z". Matematisk kan vi skrive henholdsvis: Re (Z) = a og Im (Z) = b.

Ideen om modul av et komplekst tall krystalliseres analogt med ideen om modul av et reelt tall. Tatt i betraktning punktet P (a, b) som en geometrisk fremstilling av det komplekse tallet Z = a + bi, blir avstanden mellom punktet P og punktet (0,0) gitt ved:

| Z | = √(De² + b²)

En annen måte å representere komplekse tall på er Polar eller trigonometrisk form. Dette skjemaet bruker modulet til et komplekst tall i konstitusjonen. Kompleksnummeret Z, algebraisk Z = a + bi, kan representeres med polarformen ved:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

Det er interessant å merke seg at det kartesiske planet er definert av to ortogonale linjer, kjent som x- og y-aksene. Vi vet at reelle tall kan representeres av en linje der alle rasjonelle tall er plassert. De resterende plassene er fylt med de irrasjonelle tallene. Mens de reelle tallene er på linjen kjent som X-akse fra det kartesiske planet, ville alle andre punkter som tilhører dette flyet være forskjellen mellom komplekse tall og reelle tall. Dermed er settet med reelle tall inneholdt i settet med komplekse tall.

Av Luiz Paulo Moreira
Uteksamen i matematikk

Vil du referere til denne teksten i et skole- eller akademisk arbeid? Se:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Hva er komplekse tall?"; Brasilskolen. Tilgjengelig i: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Tilgang 27. juni 2021.