Vurder polynomligning nedenfor der alle koeffisienter DeNeier heltall:
DeNeixNei + denn-1xn-1 + denn-2xn-2 +… + The2x2 + den1x + a0 = 0
O Rasjonell rotteori garanterer at hvis denne ligningen innrømmer det rasjonelle tallet P/hva som rot (med P
, hva 
og mdc (p, q) = 1), deretter De0 er delelig med P og DeNei er delelig med hva.
Kommentarer:
1º) Den rasjonelle røtteretningen garanterer ikke at polynomligningen har røtter, men hvis de eksisterer, lar setningen oss identifisere alle røtter av ligningen;
2º) hvis DeNei= 1 og de andre koeffisientene er alle heltall, ligningen har bare heltalsrøtter.
3°) hvis q = 1 og det er rasjonelle røtter, disse er hele og deler av De0.
Anvendelse av Rational Root Theorem:
La oss bruke teoremet for å finne alle røttene til polynomligningen 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0.
La oss først identifisere de mulige rasjonelle røttene til denne ligningen, det vil si formens røtter P/hva. I følge teoremet, De0 er delelig med P; på denne måten, hvordan De0 = 12, deretter de mulige verdiene av
P er {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}. Analogt må vi DeNei er delelig med hva og DeNei = 2, deretter hva kan ha følgende verdier: {± 1, ± 2}. Derfor dele verdiene av P per hva, vi får mulige verdier P/hva røttene til ligningen: {+ ½, - ½, +1, - 1, +3/2, –3/2, +2, –2, +3, –3, +4, –4, +6, –6, +12, –12}.For å bekrefte at verdiene vi fant er virkelig roten til polynomligningen, la oss erstatte hver verdi i stedet for x av ligningen. Gjennom algebraisk beregning, hvis polynomet resulterer i null, så det substituerte tallet er faktisk roten til ligningen.
2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0
For x = + ½
2.(½)4 + 5.(½)3 – 11.(½)2 – 20.(½) + 12 = 0
For x = - ½
2.(– ½)4 + 5.(– ½)3 – 11.(– ½)2 – 20.(– ½) + 12 = 75/4
Ikke stopp nå... Det er mer etter annonseringen;)
For x = + 1
2.14 + 5.13 – 11.12 – 20.1 + 12 = – 12
For x = - 1
2.(– 1)4 + 5.(– 1)3 – 11.(– 1)2 – 20.(– 1) + 12 = 18
For x = + 3/2
2.(3/2)4 + 5.(3/2)3 – 11.(3/2)2 – 20.(3/2) + 12 = – 63/4
For x = - 3/2
2.(– 3/2)4 + 5.(– 3/2)3 – 11.(– 3/2)2 – 20.(– 3/2) + 12 = 21/2
For x = + 2
2.24 + 5.23 – 11.22 – 20.2 + 12 = 0
For x = - 2
2.(– 2)4 + 5.(– 2)3 – 11.(– 2)2 – 20.(– 2) + 12 = 0
For x = + 3
2.34 + 5.33 – 11.32 – 20.3 + 12 = 150
For x = - 3
2.(– 3)4 + 5.(– 3)3 – 11.(– 3)2 – 20.(– 3) + 12 = 0
For x = + 4
2.44 + 5.43 – 11.42 – 20.4 + 12 = 588
For x = - 4
2.(– 4)4 + 5.(– 4)3 – 11.(– 4)2 – 20.(– 4) + 12 = 108
For x = + 6
2.64 + 5.63 – 11.62 – 20.6 + 12 = 3168
For x = - 6
2.(– 6)4 + 5.(– 6)3 – 11.(– 6)2 – 20.(– 6) + 12 = 1248
For x = + 12
2.124 + 5.123 – 11.122 – 20.12 + 12 = 48300
For x = - 12
2.(– 12)4 + 5.(– 12)3 – 11.(– 12)2 – 20.(– 12) + 12 = 31500
Derfor er røttene til polynomligningen 2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0 de er {– 3, – 2, ½, 2}. Gjennom setning for polynom nedbrytning, kunne vi skrive denne ligningen som (x + 3). (x + 2). (x - ½). (x - 2)= 0.
Av Amanda Gonçalves
Uteksamen i matematikk
Vil du referere til denne teksten i et skole- eller akademisk arbeid? Se:
RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Rasjonell rotteori"; Brasilskolen. Tilgjengelig i: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-das-raizes-racionais.htm. Tilgang 28. juni 2021.
